2001　大学入試センター試験　追試験　数学I・数学IAMathJax

【１】

［１］　$a$を実数，$b$を$3b^2-8b-3\ne 0$となる実数とする．また，$2$次関数

• $y=\mathrm{-2}{x}^2-4x+a$
• $y=(3b^2-8b-3)x^2+5$

の表す放物線をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．

(1)　$C_1$の頂点の座標は$(\boxed{\text{アイ}},a+\boxed{\text{ウ}})$である．

(2)　$C_2$が$x$軸と$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わるような$b$の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}<b<\boxed{\text{キ}}\cdots \text{①}$

である．

　また，$b$が$\text{①}$の範囲内の整数であるとき，線分$\mathrm{AB}$の長さが最小になるのは$b=\boxed{\text{ク}}$のときで，このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}}{2}}$である．

(3)　$C_1$の頂点が$C_2$上にあるとする．このとき，

$a=\boxed{\text{サ}}{b}^2-\boxed{\text{シ}}b$

が成り立つ．

　さらに，$C_1$を$x$軸方向に$\boxed{\text{ス}}$だけ平行移動すると，再び頂点は$C_2$上にある．ただし，$\boxed{\text{ス}}$には$0$でない数を入れよ．

【１】

［２］　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$に文字が一つずつ書いてある$4$枚のカードが箱に入っている．この箱から$1$枚のカードを取り出してもとに戻す．この試行を$4$回くり返し，以下のように得点を定める．

(a)　文字$\mathrm{A}$の書かれたカードを引いた回数が$1$回ならば$1$点．

(b)　文字$\mathrm{A}$の書かれたカードを引いた回数が$2$回ならば$2$点．

(c)　その他の場合，すなわち，文字$\mathrm{A}$の書かれたカードを引いた回数が$0$回，$3$回または$4$回のときは$0$点．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の文字のカードがすべて現れる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

(2)　得点が$1$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

(3)　得点が$0$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネノ}}}}$である．

(4)　得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハヒ}}}{\boxed{\text{フヘ}}}}$点である．

【２】　半径$R$の円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$は

$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\sqrt{3}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAD}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

を満たす．このとき

• $\mathrm{BD}=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}$$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$
• $\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$
• $\mathrm{BC}=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\mathrm{CD}=\boxed{\text{ケ}}$

となる．さらに$▵\mathrm{ABC}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{2}}$

である．

【３】　円周上に異なる$5$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$があり，どの$2$点についてもそれを両端とする線分がある．

(1)　線分は全部で$\boxed{\text{アイ}}$本ある．

(2)　線分を$4$本選ぶ方法は$\boxed{\text{ウエオ}}$通りある．

(3)　どの線分の端も点$\mathrm{A}$でないように線分を$4$本選ぶ方法は$\boxed{\text{カキ}}$通りある．

(4)　点$\mathrm{A}$が少なくとも$1$本の線分の端となるように線分を$4$本選ぶ方法は$\boxed{\text{クケコ}}$通りある．

(5)　線分を$5$本選び，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$のどの点もちょうど$2$本の線分の端となるようにする．このように線分を$5$本選ぶ方法は$\boxed{\text{サシ}}$通りある．

【２】

［１］　$a$を正の実数，$b$を実数とする．$x$の整式$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を

• $P=2x^3+(a+2)x^2+(3a+2)x+a+{\displaystyle \frac{1}{a}}$
• $Q=x^2+x+b$

とおく．$P$を$Q$で割ったときの余り$R$を$Ax+B$とすると

• $A=\boxed{\text{ア}}a-2b+\boxed{\text{イ}}$
• $B=-ab+a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{a}}$

である．

(1)　$b=0$とする．$x={\displaystyle \frac{3}{2}}$とすると，$R$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$のとき最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

(2)　次の文章中の$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$に下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから当てはまるものを選べ．

　$a=1$のとき，$A>0$は$B>0$ が成り立つための$\boxed{\text{キ}}$．

　$a=2$のとき，$A>0$は$B>0$が成り立つための$\boxed{\text{ク}}$．

　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$A>0$は$B>0$が成り立つための$\boxed{\text{ケ}}$．

• $\overline{)\text{1}}$ 必要十分条件である
• $\overline{)\text{2}}$ 必要条件であるが十分条件ではない
• $\overline{)\text{3}}$ 十分条件であるが必要条件ではない
• $\overline{)\text{4}}$ 必要条件でも十分条件でもない

【２】

［２］　半径$R$の円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$は

$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\sqrt{3}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAD}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

を満たす．このとき

• $\mathrm{BD}=\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}\text{，}$$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$
• $\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$
• $\mathrm{CD}=\boxed{\text{チ}}$

である．

【３】　$p$を$0$でない実数とし，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，

$S_n=p{n}^2-pn+p+3$

で表されている．このとき，

$a_1=p+\boxed{\text{ア}}\text{，}$$a_2=\boxed{\text{イ}}p\text{，}$$a_3=\boxed{\text{ウ}}p$

である．

(1)　$\{a_n\}$が等差数列のとき，$p=\boxed{\text{エオ}}$であり，

$a_n=\boxed{\text{カキ}}n+\boxed{\text{ク}}$

となる．さらに，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}(k+1)a_k=\boxed{\text{ケコサシス}}$

である．

(2)　$\{b_n\}$を公比$r$の等比数列とし，

$b_1=a_1\text{，}$$b_2=\mathrm{-2}{a}_2\text{，}$$b_3=3a_3$

とする．このとき，

$r=\boxed{\text{セソ}}\text{，}$$p=\boxed{\text{タ}}$

である．また，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k>900$

となる$n$のうちで最小のものは$\boxed{\text{チ}}$である．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{CA}<\mathrm{AB}$で，三角形$\mathrm{ADE}$の外接円と辺$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$とはそれぞれ$\mathrm{A}$と異なる交点$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$をもつとする．このとき，$\mathrm{BG}=\mathrm{CF}$であることを証明する．

　以下の文章中の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{エ}}$と$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$については下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{E}}$のうちから選択し，$\boxed{\text{オカキ}}$と$\boxed{\text{コサシ}}$には当てはまる文字を$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{G}$のうちから選べ．ただし，オとキ，コとシは解答の順序を問わない．

〔証明〕$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とする．$\mathrm{AE}$が$\angle \mathrm{A}$の二等分線であるから，

$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\mathrm{EC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．また，四角形$\mathrm{AGDE}$は円に内接するから$\angle \mathrm{EAB}=\angle \boxed{\text{オカキ}}$となり，$\angle \mathrm{B}$が共通だから$▵\mathrm{EAB}$と$▵\boxed{\text{オカキ}}$は相似である．したがって，

$\mathrm{BG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．同様に，四角形$\mathrm{AFED}$も円に内接するから$\angle \mathrm{DAC}=\angle \boxed{\text{コサシ}}$であり，$▵\mathrm{DAC}$と$▵\boxed{\text{コサシ}}$も相似である．よって

$\mathrm{CF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

が成り立ち，$\mathrm{BG}=\mathrm{CF}$が示された．

【５】　$100$グラム未満のみかんを小玉，$100$グラム以上のものを大玉と呼ぶことにする．次のプログラムはみかんを小玉と大玉の$2$種類に分類して，種類別に袋詰めするとき，袋の中のみかんの種類と総重量を表示するものである．

　一つの袋の中のみかんの総重量が$400$グラム以上になったら，次の袋に入れ始める．また，このプログラムを終了させるときには，

みかんの重さ = ?

に負の値を入力する．

• 100 S=0
• 110 L=0
• 120 INPUT "みかんの重さ= ";X
• 130 IF X < 0 THEN GOTO 250
• 140 IF X $\boxed{\text{ア}}$ 100 THEN GOTO $\boxed{\text{イ}}$
• 150 S = S + X
• 160 IF S < 400 THEN GOTO $\boxed{\text{ウ}}$
• 170 PRINT "小玉";S;"グラム"
• 180 S = 0
• 190 GOTO 120
• 200 L = L + X
• 210 IF L < 400 THEN GOTO 120
• 220 PRINT "大玉;L;"グラム"
• 230 L = 0
• 240 GOTO 120
• 250 END

(1)　$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから選びプログラムを完成せよ．

• $\overline{)\text{0}}$ <
• $\overline{)\text{1}}$ >
• $\overline{)\text{2}}$ <=
• $\overline{)\text{3}}$ >=
• $\overline{)\text{4}}$ <>
• $\overline{)\text{5}}$ 120
• $\overline{)\text{6}}$ 150
• $\overline{)\text{7}}$ 170
• $\overline{)\text{8}}$ 200
• $\overline{)\text{9}}$ 220

　最初の$10$個のみかんの重さが入力順に

80 ，80 ，120 ，90 ，100 ，120 ，140 ，90 ，80 ，100

であるとする．このとき，$\boxed{\text{エ}}$番目のデータを入力したとき初めて，

$\boxed{\text{オ}}$玉$\boxed{\text{カキク}}$グラム

が出力され，次に$\boxed{\text{ケ}}$番目のデータを入力したとき，

$\boxed{\text{コ}}$玉$\boxed{\text{サシス}}$グラム

が出力される．ただし，$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$には次の$\overline{)\text{0}}\text{，}$$\overline{)\text{1}}$のうちから当てはまるものを選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ 小
• $\overline{)\text{1}}$ 大

(2)　小玉の入っている袋については，その中のみかんの個数も表示するようにプログラムを修正したい．そのためには，まず 115 行と 185 行として K = 0 を追加し，次に$\boxed{\text{セ}}$行としてK = K + 1 を追加し，さらに$\boxed{\text{ソ}}$行として

PRINT " 小玉 ";K; 個 "

を追加すればよい．ただし，$\boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}$には次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから当てはまるものを選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ 135
• $\overline{)\text{1}}$ 155
• $\overline{)\text{2}}$ 175
• $\overline{)\text{3}}$ 195
• $\overline{)\text{4}}$ 225