2002　大学入試センター試験　追試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

［１］　$a$は$\mathrm{-2}\leqq a\leqq 2$を満たす定数とする．二つの角$x\text{，}$$y$は

$\cos x-\cos y=a\cdots \text{①}$

を満たしながら

$0°\leqq x\leqq 180°\text{，}$$0°\leqq y\leqq 180°\cdots \text{②}$

の範囲を動くものとする．このとき

$s=\sin x+\sin y\cdots \text{③}$

の最大値を求めよう．

　$\text{①}$と$\text{③}$から

$s^2+a^2=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\cos (x+y)$

を得る．$\text{①}$と$\text{②}$を満たす$x\text{，}$$y$で，$\cos (x+y)=\mathrm{-1}$となるものがあれば，$s$の最大値は

$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}-a^2}$

である．このような$x\text{，}$$y$があることを示そう．$\text{②}$の範囲で

$\cos (x+y)=\mathrm{-1}$

となるのは

$x+y=\boxed{\text{エオカ}}°$

のときである．このとき

$\cos x+\cos y=\boxed{\text{キ}}$

であり，$\text{①}$と合わせて

$\cos x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\cos y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

となる．これを満たす$x\text{，}$$y$は存在する．

【１】

［２］　座標平面上において

$2{\log }_{7}x-{\log }_{7}y-3=0$

により表される図形を$C$とし

${\log }_{7}x-{\log }_{7}y-a=0$

により表される図形を$L$とする．

(1)　$C$は曲線$y=7^{\boxed{\text{スセ}}}{x}^{\boxed{\text{ソ}}}$の$x>0$部分であり，$L$は直線$y=7^{\boxed{\text{タチ}}}x$の$x>0$の部分である．

(2)　$C$と$L$の交点は

$(7^{\boxed{\text{ツ}}-\boxed{\text{テ}}},7^{\boxed{\text{ト}}-\boxed{\text{ナニ}}})$

である．

(3)　$7^{\boxed{\text{ツ}}-\boxed{\text{テ}}}\leqq x$の範囲において，$C$と$L$，および直線

$x={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 7^{\boxed{\text{ツ}}-\boxed{\text{テ}}}$

によって囲まれた部分の面積を$T\left(a\right)$とすると

$T\left(a\right)={\displaystyle \frac{7^{\boxed{\text{ヌ}}-\boxed{\text{ネノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

である．

(4)　${\log }_{7}T\left(a\right)\leqq 0$となる最小の整数$a$は$\boxed{\text{ヒ}}$である．

【２】　 $\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(\mathrm{-1},0)$をとる．次の二つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$を考える．

• $C_1:y=m{x}^2+nx$
• $C_2:y=p{x}^3+q{x}^2+rx$

　ここで$C_1$は$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$を通り，$C_1$の$\mathrm{O}$における接線の傾きは$1$である．また，$C_2$は$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通り，$C_2$の$\mathrm{O}$における接線の傾きは$a$$(a>0)$である．

(1)　このとき

$m=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{ウ}}$

であり

$p=\boxed{\text{エオ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$r=\boxed{\text{キ}}$

である．

(2)　$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標は

$x=0\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}-\boxed{\text{サ}}$

である．したがって，$C_1$と$C_2$が$0<x<1$において交わるような$a$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}<a<\boxed{\text{セ}}$

である．

(3)　$a$は$0<a<1$を満たすとする．$C_1$の$\mathrm{A}$における接線を$l_1$とすると，$l_1$の方程式は

$y=\boxed{\text{ソ}}x+\boxed{\text{タ}}$

である．$C_2$の$\mathrm{O}$における接線を$l_2$とする．$x$軸と$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}(\boxed{\text{テ}}+1)}}$

である．また，$x$軸と$C_1$で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

　$l_2$と$C_1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，また，$l_1\text{，}$$l_2$および$C_1$の三つで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

のときである．

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,0)$と$\mathrm{B}(0,6)$がある．連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(x-3)}^2+{(y-3)}^2\leqq 9\\ y\geqq \mathrm{-2}x+9\end{array}$

で表される領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$が，この領域$D$内を動くとき

$s=2{\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$

が最大値および最小値をとる点$\mathrm{P}$の座標を求めよう．

$\mathrm{AP}=\sqrt{{(x-\boxed{\text{ア}})}^2+y^2}\text{，}$$\mathrm{BP}=\sqrt{x^2+{(y-\boxed{\text{イ}})}^2}$

であるから

• $s=\boxed{\text{ウ}}(x^2+y^2-\boxed{\text{エ}}x-\boxed{\text{オ}}y+\boxed{\text{カキ}})$
• $=\boxed{\text{ウ}}\{{(x-\boxed{\text{ク}})}^2+{(y-\boxed{\text{ケ}})}^2\}$$+\boxed{\text{コサ}}$

となる．この式において${(x-\boxed{\text{ク}})}^2+{(y-\boxed{\text{ケ}})}^2$は，点$\mathrm{P}$と点$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$の間の距離の平方であるから，$s$は

• $x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$
• $y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}+\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

のとき最大値をとり

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

のとき最小値をとる．

【４】　放物線$y=3x^2$を$C$とし，$C$上に$2$点$\mathrm{P}(a,3a^2)\text{，}$$\mathrm{Q}(-a^3,3a^6)$をとる．ただし，$a>0$とする．

(1)　$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}ax-\boxed{\text{イ}}{a}^{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，$\mathrm{Q}$における$C$の接線$m$の方程式は

$y=\boxed{\text{エオ}}{a}^{\boxed{\text{カ}}}x-\boxed{\text{キ}}{a}^{\boxed{\text{ク}}}$

である．

(2)　$l$と$m$の交点の$x$座標$X$は

$X={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}(a-a^{\boxed{\text{サ}}})$

であり，$X$は$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$をとる．

(3)　$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$のとき，$m\text{，}$$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チツテ}}}}$である．

【３】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が

$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1$

を満たしているとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積は

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．したがって，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$となる．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．また，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$が平面上を$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$を満たしながら動くとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積$S$の最大値を求めよう．$\mathrm{P}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の長さの最大値は

$\sqrt{\boxed{\text{サ}}}(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{スセ}}}})$

であるから，$S$の最大値は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}+2\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

【４】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$について，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\sqrt{3}:6\text{，}$$\angle \mathrm{BAC}=30°$が成り立っているとする．また，$w=\mathrm{-4}\alpha +6\beta -\gamma$で表される点を$\mathrm{D}(w)$とおく．

(1)　$z={\displaystyle \frac{w-\alpha }{\gamma -\alpha }}$とするとき，$z+1$の絶対値と偏角はそれぞれ

$|z+1|=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\text{，}$$\arg (z+1)=\pm \boxed{\text{イウ}}°$

なので

$z+1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\pm \frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}i}$

である．したがって，$|z|=\boxed{\text{ク}}\text{，}\arg z=\pm \boxed{\text{ケコ}}°$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ACD}$の面積比は

$▵\mathrm{ABC}:▵\mathrm{ACD}=1:\boxed{\text{サ}}$

である．

(3)　$\alpha =1\text{，}$$\beta =0$のとき

$\gamma =\boxed{\text{シス}}+\sqrt{\boxed{\text{セ}}}i\text{，}$$w=\boxed{\text{ソタ}}-\sqrt{\boxed{\text{チ}}}i$

または

$\gamma =\boxed{\text{シス}}-\sqrt{\boxed{\text{セ}}}i\text{，}$$w=\boxed{\text{ソタ}}+\sqrt{\boxed{\text{チ}}}i$

である．

【５】　$5$枚の赤いカードに，$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$という数がそれぞれ一つずつ書いてあり，$5$枚の青いカードにも，$7\text{，}$$8\text{，}$$9\text{，}$$10\text{，}$$11$という数がそれぞれ一つずつ書いてある．

　赤いカードのうちから$1$枚，青いカードのうちから$1$枚引いて，書かれてある数をそれぞれ$X\text{，}$$Y$として確率変数$X\text{，}$$Y$を定め，$Z=2X+Y$として確率変数$Z$を定める．

(1)　$X$が素数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$Z$が素数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　$Z$が素数になるという条件のもとで，$X$が素数になる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$であり，$Y$が素数になる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

(3)　$X$が素数になるという事象と$Z$が素数になるという事象は$\boxed{\text{コ}}$．

　$Y$が素数になるという事象と$Z$が素数になるという事象は$\boxed{\text{サ}}$．

　$\boxed{\text{コ}}$，$\boxed{\text{サ}}$に適するものを，次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{1}}$　排反である
• $\overline{)\text{2}}$　独立である
• $\overline{)\text{3}}$　独立でない

(4)　$X$の平均（期待値）は$\boxed{\text{シ}}$ であり，分散は$\boxed{\text{ス}}$である．

(5)　$Z$の平均は$\boxed{\text{セソ}}$であり，分散は$\boxed{\text{タチ}}$である．

【６】　長さが$19\text{cm}$の材料がある．この材料を切って長さ$7\text{cm}\text{，}$$6\text{cm}\text{，}$$4\text{cm}$の$3$種類の製品をいくつか作りたい．ただし，$3$種類の製品の中で作られないものがあってもよい．材料の残りを調べるために，次のプログラムを考えた．

• 100 L = 19
• 110 A = 7 : B = 6 : C = 4
• 120 MI = L
• 130 AN = INT(L/A)
• 140 BN = INT(L/B)
• 150 FOR IA = 0 TO AN
• 160 FOR IB = 0 TO BN
• 170  US = A * IA + B * IB
• 180  IF US > L THEN GOTO 240
• 190  IC = INT(L - US) / C)
• 200  RE = L - US - C * IC
•  
• 230  PRINT IA, IB, IC, RE
• 240 NEXT IB
• 250 NEXT IA
• 260 END

注意：INT(X) は，X を超えない最大の整数を表す関数である．

(1)　プログラムを実行させると，変数 AN ，BN にはそれぞれ$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$が代入される．

(2)　プログラムの実行によって，出力される行数は$\boxed{\text{ウ}}$行であり，その最初と$3$番目の行は，それぞれ

$\boxed{\text{エ}}$　$\boxed{\text{オ}}$　$\boxed{\text{カ}}$　$\boxed{\text{キ}}$

と

$\boxed{\text{ク}}$　$\boxed{\text{ケ}}$　$\boxed{\text{コ}}$　$\boxed{\text{サ}}$

である．

(3)　材料の残りが少なくなるような切り方を調べるために，次の$2$行を 200 行と 230 行の間に挿入した．

• 210 IF RE > MI THEN GOTO 240
• 220 MI = RE

　この結果，出力される行数は，$\boxed{\text{シ}}$行となり，最後に出力されるのは

$\boxed{\text{ス}}$　$\boxed{\text{セ}}$　$\boxed{\text{ソ}}$　$\boxed{\text{タ}}$

である．この切り方によると，材料の残りは$\boxed{\text{チ}}\text{cm}$である．

(4)　(3)で挿入した 210 行，220 行の$2$行と同じ処理を意味するものは$\boxed{\text{ツ}}$である．$\boxed{\text{ツ}}$に適するものを，次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{1}}$	210 IF RE <= MI THEN MI = RE
	220 GOTO 240
$\overline{)\text{2}}$	210 IF RE < MI THEN MI = RE
	220 GOTO 240
$\overline{)\text{3}}$	210 IF RE <= MI THEN MI = RE ELSE GOTO 240
$\overline{)\text{4}}$	210 IF RE < MI THEN MI = RE ELSE GOTO 240