2003　大学入試センター試験　本試験　数学II／数学IIBMathJax

【１】

［１］(1)　一般に$A\text{，}$$B$を定数とするとき，$x\geqq 0$を満たすすべての$x$に対して，$x$の$1$次不等式$Ax+B>0$が成り立つ条件は

$A\geqq \boxed{\text{ア}}$かつ$B>\boxed{\text{イ}}$

である．

(2)　$x\geqq 0$を満たすすべての$x$に対して，不等式

$(x+1){\sin }^2\alpha +(2x-1)\sin \alpha \cos \alpha -x{\cos }^2\alpha >0$$\cdots \text{①}$

が成り立つような$\alpha$の値の範囲を求めよう．ただし，$0°\leqq \alpha \leqq 180°$とする．

　$x\geqq 0$を満たすすべての$x$に対して，$\text{①}$が成り立つ条件は

$\sin \boxed{\text{ウ}}\alpha \geqq \cos \boxed{\text{エ}}\alpha$

かつ

${\sin }^{\boxed{\text{オ}}}\alpha >\sin \alpha \cos \alpha$

が成り立つことである．これより，求める$\alpha$の値の範囲は

$\boxed{\text{カキ}}°<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケコ}}°}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

【１】

［２］　正の数$x$に対して

${\displaystyle a={\log }_{3}x-\frac{7}{2}}\text{，}$$b={\log }_{3}x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}$$c={\log }_{9}x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}$$d={\log }_{9}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

とおく．

(1)　$d=0$となるような$x$の値は$x=\boxed{\text{シス}}$である．

(2)　$abcd>0$となるような$x$の値の範囲を求めよう．$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$のすべてが負の場合には

$0<x<\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$

となる．$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$のうち二つが正で残り二つが負の場合には

$\boxed{\text{タチ}}<x<\boxed{\text{ツテ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$

となる．さらに，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$のすべてが正の場合には

$\boxed{\text{ナニヌ}}<x$

となる．

(3)　$\boxed{\text{タチ}}<x<\boxed{\text{ツテ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$の範囲において，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の間には大小関係

$\boxed{\text{ネ}}<\boxed{\text{ノ}}<\boxed{\text{ハ}}<\boxed{\text{ヒ}}$

が成り立つ．

【２】　関数 $f(x)$は

• $x\leqq 3\text{のとき}f(x)=x$
• $x>3\text{のとき}f(x)=\mathrm{-3}x+12$

で与えられている．このとき，$x\geqq 0$に対して，関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

と定める．

(1)　$0\leqq x\leqq 3$のとき

$g(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{x}^{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，$x\geqq 3$のとき

$g(x)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+\boxed{\text{エオ}}x-\boxed{\text{カキ}}$

である．

(2)　曲線$y=g(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(a,g(a))$（ただし，$0<a<3$）における$C$の接線$l$の傾きは$\boxed{\text{ク}}$であるから，$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{ク}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{a}^2$

である．

(3)　$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とすると$\mathrm{Q}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}a,0)$

であり，$l$と$C$の$\mathrm{P}$以外の交点を$\mathrm{R}$とすると$\mathrm{R}$の座標は

$(\boxed{\text{ス}}-a,\boxed{\text{セ}}a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}{a}^2)$

である．

(4)　$\mathrm{R}$から$x$軸に垂線を引き，$x$軸と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，三角形$\mathrm{QRH}$の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{a}^3-\boxed{\text{テ}}{a}^2+\boxed{\text{トナ}}a$

である．$S$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のとき最大値をとる．

【３】(1)　二つの実数$a\text{，}$$b$が不等式

$1-a>a-b>b-1\cdots \text{①}$

を満たすとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$1$のうち最大なものは$\boxed{\text{ア}}$である．このとき，座標平面上において$\text{①}$を満たす点$\left(a,b\right)$が動きうる領域は，二つの不等式

• $y>\boxed{\text{イ}}x-1\cdots \text{②}$
• $x>\boxed{\text{ウ}}y-1\cdots \text{③}$

で与えられる．さらに，$\text{①}$を満たす$a\text{，}$$b$に対して，$a\text{，}$$b\text{および}1$を三辺の長さとする三角形があるという条件を付け加えたときに，点$(a,b)$が動きうる領域は，上の$\text{②}\text{，}\text{③}$ともう一つの不等式

$x+y>\boxed{\text{エ}}$

によって与えられる．この領域は三角形の内部であり，この三角形を$D$とする．

(2)　三角形$D$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．三角形$D$の外接円の方程式は

$x^2+y^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}(x+y)+\frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}=0$

である．また，三角形$D$の内接円の中心の$x$座標$\alpha$は

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$

であり，半径は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}-\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{トナ}}}}$

である．

【４】　放物線$y=4x^2$を$C_1$とし，放物線$y=x^2-6x+9$を$C_2$とする．

(1)　$C_2$は$x$軸と点$(\boxed{\text{ア}},0)$で接する．また，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標は

$x=\boxed{\text{イウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$

である．$C_1$の$x=0$から$x=\boxed{\text{エ}}$までの部分，$C_2$の$x=\boxed{\text{エ}}$から$x=\boxed{\text{ア}}$までの部分および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$は

$S=\boxed{\text{オ}}$

である．

(2)　$C_1$上の点$\mathrm{P}$および$C_2$上の点$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．ただし，$a>0$とする．$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線が平行であるとき

$b=\boxed{\text{カ}}a+\boxed{\text{キ}}$

が成り立つ．このとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線$l$の方程式は$a$を用いて

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}{a}^2}{a+\boxed{\text{ケ}}}}(x+\boxed{\text{コ}})$

と表される．$l$は$a$によらず定点

$\mathrm{R}(\boxed{\text{サシ}},\boxed{\text{ス}})$

を通る．また，線分$\mathrm{RP}$と$\mathrm{RQ}$の長さの比は

$\mathrm{RP}:\mathrm{RQ}=1:\boxed{\text{セ}}$

となり，つねに一定である．

【３】　一辺の長さが$1$の，図のような立方体$\mathrm{ABCD};{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$において，$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$を$a:(1-a)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とし$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{y}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }}=\overrightarrow{z}$とおく．ただし，$0<a<1$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}\text{，}$$\overrightarrow{z}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}})\overrightarrow{x}$$+\overrightarrow{y}+\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{z}$

• $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\boxed{\text{エオ}}\overrightarrow{x}+(1-a)\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}$

となる．したがって

• $\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|=1:\boxed{\text{カ}}$
• ${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2=\boxed{\text{キ}}(a^2-a+\boxed{\text{ク}})$
• $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}=a^2-a+\boxed{\text{ケ}}$

であるから，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角は$\boxed{\text{コサ}}°$である．

(2)　三角形$\mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{G}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{DG}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})$

である（$\boxed{\text{シ}}$と$\boxed{\text{ス}}$は解答の順序を問わない．）

　いま，辺${\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$上に$\mathrm{SQ}=\mathrm{SR}$となるように点$\mathrm{S}$をとる．このとき，$\overrightarrow{{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{S}}=\boxed{\text{ソ}}\overrightarrow{{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }}$となり

$\overrightarrow{\mathrm{SD}}=(\boxed{\text{タ}}-\boxed{\text{チ}})\overrightarrow{x}-\overrightarrow{z}$

である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{SG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$が垂直であるとき，$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であり，$\angle \mathrm{QSR}=\boxed{\text{トナニ}}°$となる．

【４】　複素数平面上で

• $z_0=(\sqrt{3}+i)(\cos \theta +i\sin \theta )$
• $z_1={\displaystyle \frac{4\{(1-\sin \theta )+i\sin \theta \}}{(1-\sin \theta )-i\cos \theta }}$
• $z_2=-{\displaystyle \frac{2}{z_1}}$

の表す点をそれぞれ${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とする．ただし，$0°<\theta <90°$とする．また，$\arg z$は複素数$z$の偏角を表すものとし，偏角は$\mathrm{-180}°$以上$180°$未満とする．

(1)　$|z_0|=\boxed{\text{ア}}\text{，}\arg z_0=\boxed{\text{イウ}}°+\theta$である．

(2)　$z_1$の分母と分子に$(1-\sin \theta )+i\cos \theta$をかけて計算すると

$z_1=\boxed{\text{エ}}(-\sin \theta +i\cos \theta )$

となる．よって，$|z_1|=\boxed{\text{オ}}\text{，}\arg z_1=\boxed{\text{カキ}}°+\theta$である．

(3)　$\left|{\displaystyle \frac{z_1}{z_0}}\right|=\boxed{\text{ク}}\text{，}\arg {\displaystyle \frac{z_1}{z_0}}=\boxed{\text{ケコ}}°$であるから，${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

(4)　原点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の$4$点が同一円周上にある場合を考える．このとき$\angle \mathrm{O}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_1$を考えると

$\arg {\displaystyle \frac{z_1-z_2}{-z_2}}=-\boxed{\text{スセ}}°$

であるから，

$\boxed{\text{ソ}}\cos 2\theta -\boxed{\text{タ}}=0$

が成り立つ．よって

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

となる．

【５】　$1$から$8$までの整数のいずれか一つが書かれたカードが，各数に対して$1$枚ずつ合計$8$枚ある．$\mathrm{D}$さんがカードを引いて，賞金を得るゲームをする．その規則は次のとおりである．

　$100$円のゲーム代を払って，カードを$1$枚引き，書いてある数が$X$のとき，$pX+q$円を受け取る．ここで，$p\text{，}$$q$は正の整数とする．

(1)　確率変数$X$の平均（期待値）は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，分散は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{D}$さんがカードを$1$枚引いて受け取る金額からゲーム代を差し引いた金額を$Y$円とする．確率変数$Y$の平均を$N$とするとき，$N$を$p$と$q$を用いて表すと

$N={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}p+q-\boxed{\text{クケコ}}$

である．

(3)　$N=0$を満たす$p\text{，}$$q$の値の組の総数は$\boxed{\text{サシ}}$である．その中で，$p$の最小値は$\boxed{\text{ス}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{セソ}}$である．

(4)　$Y$の分散は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{p}^2$である．したがって，$N=0$のとき$Y$の分散の最小値$C$は，$p=\boxed{\text{テ}}$のとき起こり，$C=\boxed{\text{トナ}}$である．

【６】　座標平面上に三つの点$\mathrm{P}(2,0)\text{，}$$\mathrm{Q}(9,7)\text{，}$$\mathrm{R}(8,a)$がある．点$\mathrm{S}(x,y)$の座標と$a$を入力し，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$のうちで，$\mathrm{S}$に最も近い点とその点までの距離の$2$乗を出力するプログラムを以下のように作った．ただし，$x\text{，}$$y\text{，}$$a$は整数を入力するものとする．

プログラム１

• 100 INPUT "x,y = ":X,Y
• 110 INPUT "a = ";A
• 120 P = (X-2)*(X-2)+Y*Y
• 130 Q = (X-9)*(X-9)+(Y-7)*(Y-7)
• 140 R = (X-8)*(X-8)+(Y-A)*(Y-A)
• 150 D = P
• 160 E = Q
• 170 F = R
• 180 IF D < E THEN $\boxed{\text{ア}}$
• 190 IF E < F THEN $\boxed{\text{イ}}$
• 200 PRINT "距離の$2$乗は";$\boxed{\text{ウ}}$
• 210 PRINT "その点は"
• 220 IF $\boxed{\text{ウ}}$ = P THEN PRINT "点$\mathrm{P}$"
• 230 IF $\boxed{\text{ウ}}$ = Q THEN PRINT "点$\mathrm{Q}$"
• 240 IF $\boxed{\text{ウ}}$ = R THEN PRINT "点$\mathrm{R}$"
• 250 END

(1)　$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$は，それぞれ「D と E の値を入れ替える」と「 E と F の値を入れ替える」ということを意味する．それぞれに当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．

(2)　$\boxed{\text{ウ}}$に入る文字を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ P
• $\overline{)\text{1}}$ Q
• $\overline{)\text{2}}$ R
• $\overline{)\text{3}}$ D
• $\overline{)\text{4}}$ E
• $\overline{)\text{5}}$ F
• $\overline{)\text{6}}$ G

(3)　プログラム１を実行して x,y = ? に対し 5,4 を出力した．そのあと$a$を入力して，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$すべてが出力されるためには$a$として$\boxed{\text{エ}}$または$\boxed{\text{オ}}$を入力しなければならない．

(4)　プログラム１と同じ出力を得るために 150 〜 190 行を次の$4$行で置き換えた．

• 150 M = P
• 160 IF Q < M THEN $\boxed{\text{カ}}$
• 170 IF R < M THEN $\boxed{\text{キ}}$
• 180 $\boxed{\text{ウ}}$ = M

　プログラム中の$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ Q = M
• $\overline{)\text{1}}$  M = Q
• $\overline{)\text{2}}$ M = R
• $\overline{)\text{3}}$ R = M

(5)　プログラム１を変更して，距離の$2$乗の最大値とその点を出力するプログラムにするには，$\boxed{\text{ク}}$だけでよい．$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　180 行目と 190 行目を入れかえる
• $\overline{)\text{1}}$　$\boxed{\text{ウ}}$の文字のみを変更する
• $\overline{)\text{2}}$　180，190 行のIF 文の中の不等式をそれぞれ D > E ，E > F に変更する
• $\overline{)\text{3}}$　180，190 行のIF 文の中の不等式をそれぞれ D > E ，E > F に変更し，さらに，180 行目と 190 行目を入れかえる

(6)　プログラム１を変更して，最小値と最大値の両方を出力するようにするために，まず 180 行と 190 行の前後にそれぞれ$1$行追加し，

• 175 FOR K = 1 TO $\boxed{\text{ケ}}$
• 180 IF D < E THEN $\boxed{\text{ア}}$
• 190 IF E < F THEN $\boxed{\text{イ}}$
• 195 NEXT K

とする．これで，最小値は$\boxed{\text{コ}}$ に，最大値は$\boxed{\text{サ}}$に代入されることになる．あとは点を出力する 200 行以降の部分を修正するだけでよい．

　$\boxed{\text{ケ}}$には，180 行と 190 行を繰り返す回数のうちで，題意に適する最小のものを答えよ．また，$\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，(2)の選択肢 $\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つずつ選べ．