2003　大学入試センター試験　追試験　数学II／数学IIBMathJax

【１】

［１］　$0°<\theta <180°$とする．$180°$の$\sin \theta$倍の角$180°\sin \theta$のとりうる値の範囲は$0°<180°\sin \theta \leqq \boxed{\text{アイウ}}°$である．次に，二つの式

• $A=\cos (180°\sin \theta )\sin (180°\sin \theta )$
• $B=\cos (180°\sin \theta )+\sin (180°\sin \theta )$

を考える．

(1)　$A>0$となるのは，$\theta$について

$0<\sin \theta <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

が成り立つときである．したがって， $A>0$となるのは

$0°<\theta °<\boxed{\text{カキ}}°\text{または}\boxed{\text{クケコ}}°<\theta <180°$

のときである．

(2)　$B=\sqrt{2}\sin (180°\sin \theta +\boxed{\text{サシ}}°)$であるから，$B>\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$となるのは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}<\sin \theta <\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$

のときである．

(3)　$\left|B\right|\leqq 1$となるのは

$\boxed{\text{チツ}}°\leqq \theta \leqq \boxed{\text{テトナ}}°$

のときである．

【１】

［２］　実数$a$に対し，$x$の方程式

${\log }_4(x-1)+{\log }_4(4-x)={\log }_4(a-x)\cdots \text{①}$

を考える．これを解くことは

$1<x<4$かつ$x<\boxed{\text{ニ}}$

の範囲で方程式

$-x^2+\boxed{\text{ヌ}}x-\boxed{\text{ネ}}=a\cdots \text{②}$

を解くことと同じである．

(1)　$2$次方程式$\text{②}$は，$a=\boxed{\text{ノ}}$のとき，重解$x=\boxed{\text{ハ}}$をもつ．したがって，方程式$\text{①}$が，ただ一つの解をもつのは

$a=\boxed{\text{ノ}}\text{または}\boxed{\text{ヒ}}<a\leqq \boxed{\text{フ}}$

のときである．

(2)　$a=\boxed{\text{フ}}$ のときの方程式$\text{①}$の解は，$x=\boxed{\text{ヘ}}$である．そのときの$\text{①}$の右辺の値は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ホ}}}}$

である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，放物線$y=2x-x^2$を$C$とし，$C$の軸を$l$とする．$C$上で$x$座標が$a$である点を$\mathrm{P}\text{，}$$2a$である点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a>0$とし，$\mathrm{P}$は$l$上にないとする．また，$l$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{R}$の$x$座標は$\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}$であり，$\mathrm{R}$と$\mathrm{Q}$が一致するような$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

　以下，$0<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$とする．

(2)　四角形$\mathrm{OPQR}$の面積$S$を$a$を用いて表すと

$S=\boxed{\text{オ}}(a^3-\boxed{\text{カ}}{a}^2+a)$

である．$S$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき最大値をとる．

(3)　線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{M}$の座標は

${\displaystyle (\boxed{\text{ケ}}+\frac{a}{\boxed{\text{コ}}},\boxed{\text{サ}}a-\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}{a}^2)}$

であり，$a$が$0<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$の範囲を動くとき，$\mathrm{M}$の軌跡は方程式

$y=-10x^2+\boxed{\text{セソ}}x-\boxed{\text{タチ}}$

で表される放物線$D$の${\displaystyle 1<x<\frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$の部分である．

　放物線$D$の${\displaystyle 1\leqq x\leqq \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$の部分と$C\text{，}l$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

【３】(1)　座標平面上で，$y$軸上の点$\mathrm{A}(0,-a)$（ただし，$a>0$とする）を通り，放物線$y=x^2$に接する直線を求めよう．接点の座標を$(b,b^2)$とすると，接線の傾きは$\boxed{\text{ア}}b$に等しいから，$a$と$b$は関係式

$b^{\boxed{\text{イ}}}=\boxed{\text{ウ}}$

を満たす．

　第$1$象限にある接点$\mathrm{B}$を通る接線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{エ}}\sqrt{a}x-a$

であり，第$2$象限にある接点$\mathrm{C}$を通る接線$m$の方程式は

$y=-\boxed{\text{エ}}\sqrt{a}x-a$

である．

(2)　直線$l$と点$\mathrm{B}$において直交する直線$n$の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}x+a+\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

(3)　(2)で求めた直線$n$と$y$軸の交点を$\mathrm{D}$とすると，$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$は一つの円$K_1$の上にある．$K_1$の方程式は

${\displaystyle x^2+{(y-\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}})}^2={(\boxed{\text{ス}}+\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}})}^2}$

である．

(4)　直線$m$と直線$n$が平行になるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

のときである．また，直線$m$と直線$n$が交わるときの交点$\mathrm{E}$の$x$座標は

${\displaystyle \frac{\sqrt{a}(\boxed{\text{ツ}}a+1)}{1-\boxed{\text{テ}}a}}$

である．

(5)　$a$が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$より大きいとする．$3$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る円$K_2$の直径は

${\displaystyle \frac{{(\boxed{\text{ツ}}a+1)}^{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}}}{2(\boxed{\text{テ}}a-1)}}$

である．

【４】　$3$次関数

$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$

は，$x=1$で極大値$6$をとり，$x=2$で極小値をとるとする．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$と$f(x)$の極小値を求めよう．$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$が

$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}(x-1)(x-2)$

と因数分解されることより

$a=\boxed{\text{イウ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{エオ}}$

であることがわかる．さらに，$f(1)=6$より

$c=\boxed{\text{カ}}$

である．したがって，$f(x)$の極小値は$\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1\text{，}y$軸方向に$5$だけ平行移動して得られる曲線の方程式を$y=g(x)$とする．このとき

$g(x)=2x^3-\boxed{\text{クケ}}{x}^2+\boxed{\text{コサ}}x-17$

である．また，$h(x)=g(x)-f(x)$とおくとき

$h(x)=\boxed{\text{シス}}(x-\boxed{\text{セ}})(x-\boxed{\text{ソ}})$

と因数分解できるから，$h(x)\geqq 0$となるような$x$の値の範囲は

$\boxed{\text{タ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{チ}}$

である．（$\boxed{\text{セ}}$と$\boxed{\text{ソ}}$は解答の順序を問わない．）

(3)　二つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$によって囲まれた図形の面積は，放物線$y=h(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積に等しく$\boxed{\text{ツ}}$である．

【３】　平面上に異なる$2$定点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$をとり，線分$\mathrm{MN}$の中点を$\mathrm{O}$とする．さらに，この平面上に，等式

$|\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}|$

を満たす動点$\mathrm{X}$を考える．

(1)　このとき

${|\overrightarrow{\mathrm{OX}}|}^2-\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OX}}+{|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|}^2=0$

であるから，これを満たす点$\mathrm{X}$全体の描く図形は半径

$\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|$

の円であり，その中心を$\mathrm{A}$とするとき

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

である．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|=1$とする．いま，この平面上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{PN}=5\text{，}$$\mathrm{PA}=3$となるようにとる．次に線分$\mathrm{QR}$を(1)で求めた円の直径とする．二つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NR}}$の内積が最小となるような$\mathrm{QR}$の位置を求めよう．まず

$|\overrightarrow{\mathrm{AN}}|=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\boxed{\text{カ}}$

である．

　内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PN}}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NR}}=\boxed{\text{キ}}$

となる．ただし，$\boxed{\text{キ}}$には，当てはまるものを，次の $\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}-\overrightarrow{\mathrm{AR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PN}}-{\left|\overrightarrow{\mathrm{AR}}\right|}^2$
• $\overline{)\text{1}}\overrightarrow{\mathrm{AR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PN}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AR}}\right|}^{\mathtt{2}}$
• $\overline{)\text{2}}-\overrightarrow{\mathrm{AR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PN}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AR}}\right|}^2$
• $\overline{)\text{3}}\overrightarrow{\mathrm{AR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PN}}-{\left|\overrightarrow{\mathrm{AR}}\right|}^2$
• $\overline{)\text{4}}0$

　したがって，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NR}}$が最小となるのは，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PN}}$のなす角が$\boxed{\text{ク}}$のときで，その最小値は

$-\boxed{\text{ケ}}-\boxed{\text{コサ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ク}}$には，当てはまるものを次の $\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}0°$
• $\overline{)\text{1}}45°$
• $\overline{)\text{2}}60°$
• $\overline{)\text{3}}90°$
• $\overline{)\text{4}}120°$
• $\overline{)\text{5}}180°$

【４】　二つの複素数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，複素数平面上で$\alpha \text{，}$${\alpha }^2\text{，}$${\alpha }^3$が表す点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$とし，$\beta \text{，}$${\beta }^2\text{，}$${\beta }^3$が表す点をそれぞれ${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3$とする．ただし，$\alpha \text{，}$$\beta$の虚部はどちらも正とする．

　以下では，$\arg z$は複素数$z$の偏角を表し，その大きさは$0°$以上$360°$未満とする．

(1)　三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$は正三角形とする．

$\angle {\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3=\arg {\displaystyle \left(\frac{{\alpha }^{\boxed{\text{ア}}}-\alpha }{{\alpha }^{\boxed{\text{イ}}}-\alpha }\right)}=\arg (\alpha +\boxed{\text{ウ}})$

であるから，$\arg (\alpha +\boxed{\text{ウ}})=\boxed{\text{エオ}}°$である．また，${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2={\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3$であるから，$|\alpha +\boxed{\text{ウ}}|=\boxed{\text{カ}}$である．したがって

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}+\frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{ケ}}}i}$

となる．

(2)　三角形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3$は $\angle {\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_3=90°$であるような直角三角形とする．(1)と同様に考えると，$\beta +\boxed{\text{ウ}}$の偏角は$90°$であることがわかるので，$\beta$の実部は$\boxed{\text{サシ}}$である．さらに，$\angle {\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_1=60°$が成り立つとき，$\beta$の虚部は$\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$で，$\arg \beta =\boxed{\text{セソタ}}°$となる．したがって

${\beta }^2=\boxed{\text{チツ}}-\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}i\text{，}{\beta }^3=\boxed{\text{ナ}}$

である．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$は(1)，(2)で定めた数とする．このとき，三角形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3$の面積は三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$倍である．

【５】　$a$を$2$以上の自然数とする．$1$から$a$までの自然数のいずれか一つが書かれたカードが，各数に対して$1$枚ずつ合計$a$枚ある．これらから$2$枚を取り，書かれている数のうち小さい方を$X\text{，}$大きい方を$Y$として確率変数$X\text{，}$$Y$を定める．

(1)　$a=10$とする．このとき

　$X=2\text{かつ}Y=4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

　$Y=4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

　$Y$の平均（期待値）は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(2)　自然数$b\text{，}$$c$が$1\leqq b<c\leqq a$を満たすとする．このとき

　$X=b\text{かつ}Y=c$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}(\boxed{\text{サ}}-\boxed{\text{シ}})}}$である．

　$Y=c$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}(\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}})}{\boxed{\text{サ}}(\boxed{\text{サ}}-\boxed{\text{シ}})}}$である．

　条件$Y=c$のもとで$X=b$となる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}}}}$である．

　確率変数${\displaystyle \frac{1}{Y-1}}$の平均は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【６】　テーブルの上に小石が$n$個置いてあり，二人のプレーヤーが次のルールに従って交互に石を取り合うゲームを考える．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

ルール：自分が石を取る番になったら$2$個あるいは$3$個の石を取る．

そして，最後に上のルールで石が取れなくなったときは，取れなくなったプレーヤーが負けとなる．

(1)　石の数が$4$個のときは，先手が石を$2$個取れば，後手は石を$2$個取って先手の$\boxed{\text{ア}}$となるが，先手が石を$\boxed{\text{イ}}$取れば，後手は石が取れなくなり先手の$\boxed{\text{ウ}}$となる．このように，うまく取れば先手が勝てるとき，先手必勝であるという．

　また，石の数が$6$個のときは，先手が石を$2$個取っても後手は石を$\boxed{\text{エ}}$取ることによって後手の$\boxed{\text{オ}}$となる．先手が石を$3$個取っても後手が石を$2$個または$3$個取ることにより後手の$\boxed{\text{オ}}$となる．このように，先手がどのように取っても負けるとき，後手必勝であるという．

　先手必勝か後手必勝かは，初めの石の数によって必ず決まる．

　$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを何度選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　勝ち
• $\overline{)\text{1}}$　負け
• $\overline{)\text{2}}2$個
• $\overline{)\text{3}}3$個

• $\overline{)\text{4}}2\text{個または}3$個

(2)　石の数が$k$個のとき，先手必勝なら$a_k=0$，後手必勝なら$a_k=1$として数の列$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$を定める．

　$k$を$5$以上の自然数とする．$\boxed{\text{カ}}$とき$a_k=0$で，$\boxed{\text{キ}}$とき$a_k=1$となる．$\boxed{\text{カ}}$，$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}{a}_{k-2}\text{と}{a}_{k-3}$が両方とも$0$の
• $\overline{)\text{1}}{a}_{k-2}\text{と}{a}_{k-3}$が両方とも$1$の
• $\overline{)\text{2}}{a}_{k-2}\text{と}{a}_{k-3}$のうちで$0$のものがある
• $\overline{)\text{3}}{a}_{k-2}\text{と}{a}_{k-3}$のうちで$1$のものがある

(3)　石の数（$5$以上）を入力して，先手必勝なら先手が勝つための初めの一手を表示し，後手必勝なら”先手の負けです”と表示するプログラムを作った．

• 100 INPUT " 石の数は ; N
• 110 B = 0 : C = 0 : D = $\boxed{\text{ク}}$
• 120 FOR K = 5 TO N
• 130  E = 0
• 140  IF $\boxed{\text{ケ}}$ THEN E = 1
• 150  A = B : B = C : C = D : D = E
• 170 NEXT K
• 180 IF D = $\boxed{\text{コ}}$ THEN PRINT "先手の負けです" : GOTO 210
• 190 IF A = $\boxed{\text{サ}}$ THEN PRINT "先手は$3$個取る" : GOTO 210
• 200 IF B = $\boxed{\text{シ}}$ THEN PRINT "先手は$2$個取る"
• 210 END

　ただし，変数 B ，C ，D ，E には，プログラム中の 140 行が終了した時点で，それぞれ$a_{k-3}\text{，}$$a_{k-2}\text{，}$$a_{k-1}\text{，}$$a_k$の値が代入されている．ここで，$k$は FOR 〜 NEXT 文で動く変数 K の値である．$\boxed{\text{ク}}$および$\boxed{\text{コ}}$〜$\boxed{\text{シ}}$に当てはまる数を答えよ．また，$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．ただし，$x\text{，}$$y$ を条件とするとき，「$x$ AND $y$」は「$x\text{かつ}y$」，「$x$ OR $y$」は「$x\text{または}y$」を意味する．

• $\overline{)\text{0}}$ B = 0 AND C = 4
• $\overline{)\text{1}}$ B = 1 AND C = 1
• $\overline{)\text{2}}$ B = 0 OR C = 0
• $\overline{)\text{3}}$ B = 1 OR C = 1

(4)　180〜200 行を取り去り，代わりに 150 行と170 行の間に$a_k$を表示する次の$1$行を入れた．

160 PRINT "a(";K;") = ";E

　このとき，$n=10$として得られる出力は

• a(5) = $\boxed{\text{ス}}$
• a(6) = $\boxed{\text{セ}}$
• a(7) = $\boxed{\text{ソ}}$
• a(8) = $\boxed{\text{タ}}$
• a(9) = $\boxed{\text{チ}}$
• a(10) = $\boxed{\text{ツ}}$

となる．この規則性から考えて$a_{2003}=\boxed{\text{テ}}$である．