2003 旭川医科大学 後期

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2003 旭川医科大学 後期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 楕円 x2a 2+ y2 b2 =1 と直線 y=m x との交点を A B とする.次の問いに答えよ.

問1 弦 AB に平行な弦の中点の軌跡が直線に含まれることを示し,その直線の方程式を求めよ.ここで,弦とは,楕円上の異なる 2 点を結ぶ線分をいう.

問2 問1で求めた直線とこの楕円との交点を C D とする.弦 CD に平行な弦の中点の軌跡を含む直線の方程式を求めよ.

問3  AB2+ CD2 を求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

問1  1<x< 1+log 2 のとき,次の不等式を証明せよ.

(x -1)2 2< ex-1 -x< ( x-1) 22+ (x- 1)3 3

問2 曲線 y= ex- ex 上の点 A( a,ea -ea ) (ただし, a>1 )を通り,点 B( 1,0) x 軸に接する円の半径を r とする. r a の式で表し, lima 1+ 0r を求めよ.

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【3】 各 n= 1 2 3 に対し関数 fn (x )

f1 (x)= logx fn +1 (x)= 1x fn (t) t dt x >0

で与えられているとき,次の問いに答えよ.

問1  fn (x)= (log x)n n! であることを証明せよ.

問2 曲線 y= fn (x) 直線 x= ea (ただし, 0<a 1 ),および x 軸で囲まれた部分の面積を Sn とおくとき, Sn+ Sn+ 1 a n を用いて表せ.

問3 問2の結果を用い,次の無限級数の和を a を用いて表せ.ただし, 0<a 1 とする.

a 1!- a2 2! +a3 3! -a4 4! +

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【4】  n 2 以上の自然数とする. z を未知数とする方程式 z n= (z-i )n について,次の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位とする.

問1  α をこの方程式の解とするとき, α の虚数部分は 12 であることを示せ.

問2 この方程式が絶対値 1 の解をもつための, n についての条件を求めよ.また,このときの絶対値 1 の解を求めよ.

問3  2n 6 のとき,この方程式の解は複素数平面上の単位円 |z |=1 の外部には存在しないことを示せ.

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