2004 大学入試センター試験 本試験 数学II/数学IIBMathJax

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2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学II・数学IIB共通

必答問題

[2]とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 不等式

log2 (x1 )+log 12 (3x )0

を満たす x の値の範囲は <x である. x がこの範囲にあるとき

y=4 x6 2 x+ 10

の最大値と最小値を求めよう.

  X=2 x とおくと, X のとる値の範囲は < X であり

y= (X ) +

である.したがって, y x= のとき最大値 をとり, x=log 2 のとき最小値 をとる.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学II・数学IIB共通

必答問題

[1]とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  a 0°<a <180° を満たす角度とする. 0° θ180 ° の範囲で関数

f(θ )=sin (θ a) sinθ

を考える.

(1) 方程式

f(θ )=0

の解 θ a を用いて

θ= シス ° + a2

と表される.さらに,この解 θ sin( θ a) = 1 2 を満たすならば

a= セソタ °

である.

(2)  a を(1)で求めた角度とするとき,関数 f (θ )

θ= チツテ ° のとき最大値

θ= ニヌ ° のとき最小値

をとる.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学II・数学IIB共通

必答問題

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】(1) 座標平面上の放物線 y=x 2 C とする. a a 1 を満たす実数とし, C 上に点 P ( a+1 , (a +1) 2 ) と点 Q ( 2a, 4a 2) をとる. 2 P Q を通る直線を l とすると, l の方程式は

y= ( a+ ) x a2 a

である.次に b b1 ba を満たす実数として, 2

R ( b+1 ,(b +1) 2) S ( 2 b,4 b2 )

を通る直線を m とする.直線 l m の交点 T

T ( (a +b +1) , a b+ (a +b +1 ) )

である.よって, b を限りなく a に近づけるとき,点 T は限りなく点

U ( a+ , a2 + a+ )

に近づく.

(2) (1)で求めた点 U は, a の値によらない放物線

D:y= x2 x +

上にある.さらに,点 U における放物線 D の接線の傾きは a+ である.放物線 D の接線で原点 O を通るものは

y=x y= ツテ x

の二つである.

(3) 二つの放物線 C D の共有点の座標は ( , ) である.放物線 C D および y 軸で囲まれた部分の面積は である.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学II

必答問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 円 x2+ y2 =1 C とする. a 12 < a<0 を満たす実数とし,点 P ( 2,0 ) を通り,傾き a の直線を l とする.さらに, l C の交点を A B とし, A は第 1 象限にあるものとする. A B における C の二つの接線の交点を Q とする. a が上の範囲を動くとき,点 Q の軌跡を求めよう.

(1) 直線 l の方程式は y= ( x ) であり, A B x 座標は方程式

(a +1 ) x2 a 2 x+ 4 a2 1= 0

の二つの解である.

(2) 線分 AB の中点の座標は

( a 2 1+a 2, a1 +a2 )

であり,線分 AB の垂直二等分線の方程式は

x+ y=

である.

(3) 点 A x 座標を b とする.このとき,点 A における C の接線の方程式は

b x+ a ( 2 ) y= 1

である. Q の座標は a を用いて表すと

( 1 , サシ a )

である.これから, Q は点 ( 1 ,0 ) を通り, y 軸に平行な直線上の y> の部分を動くことがわかる.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学II

必答問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  0 <c< 1 を満たす c に対して,座標平面上の点 (1 c2, 0) P とする.

(1) 原点 O と点 P を通る放物線 y=m x(x +c2 1) で,直線 y= x+1 に接するものを求めよう.この放物線が直線 y= x+1 に接するから, m 2 次方程式

( 2 ) 2 m 2+ 2 ( 2 + ) m+1 =0

を満たす.よって求める放物線は

C1: y= −1c 2+ c+ x(x +c2 1 )

C2: y= −1c 2 c+ x ( x+ c2 1 )

の二つである.

 放物線 C1 と直線 y=x +1 の接点の x 座標は +c である.

(2) (1)で求めた二つの放物線 C1 C2 で囲まれた部分の面積 S

S= (c )

である.面積 S は, P x 座標が のとき最大値 タチ をとる.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 点 A (0 ,0,0 ) を通り,ベクトル u =(1 ,1, 0) に平行な直線を l とする.また,点 B (0,5 ,−2) を通り,ベクトル v =(1 ,0, 1) に平行な直線を m とする. l 上の点 P から m に下ろした垂線の足を P とする.また, m 上の点 Q から l に下ろした垂線の足を Q とする. P P =Q Q かつ PP Q Q となる P Q を求めよう.

(1) 実数 t t s s により

AP =tu B P = t v BQ =s v A Q =s u

と表される.直線 P P と直線 m が直交するから

t = + t

である.ベクトル PP の成分を t を用いて表すと

P P = ( t , t , クケ + t )

である.同様に直線 Q Q と直線 l が直交するから

s = 5 2+1 2s

である.ベクトル QQ の成分を s を用いて表すと

Q Q = ( s, タチ + s, s )

である.

(2) さて, P P 2+ QP 2 = PQ2 =Q Q 2+ P Q 2 であるから, P P= QQ であるための条件は P Q= PQ である. P P = ( s t) u Q P =(t s )v であるから, P Q= QP となるのは

s= t

または

s= ヌネ +t

のときである.

(3)  が成り立つとき, P P QQ が垂直になるのは t= または t= のときである.( は解答の順序を問わない.)

  が成り立つときは, P P QQ が垂直になるような実数 t の値はない.

[補足説明] 「点 P から m に下ろした垂線の足」とは,点 P からひいた m の垂線と m との交点のことである.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 複素数 z=x+ yi x y は実数)は y0 を満たし,かつ 1 z z2 z3 は相異なるとする.また z に共役な複素数を z =xy i とする.

(1) 複素数平面において 1 z z2 z 3 の表す点をそれぞれ A0 A1 A2 A3 とする.線分 A0 A1 と線分 A2 A3 が両端以外で交わる条件を求めよう.線分 A0 A1 と線分 A2 A3 が両端以外の点 B で交わるとする.点 B を表す複素数を w とする.点 B が線分 A0 A1 a: (1 a) に内分していれば

w=a z+1 a

と表される.ここで 0< a<1 である.点 B が線分 A2 A3 b :( 1 b) に内分していれば

w= b z3+ (1 b ) z 2

と表される.ここで 0 <b< 1 である.ゆえに

bz3 +(1 b ) z2=a z+1 a

すなわち

(z ) ( z 2 +z+ 1 )= 0

である. z は実数ではないから

z+z = 1 z z= 1

である.これから a b を, x y を用いて表すと

a= + x +y x b = 1 x

である.

 したがって, 0< a< 1 0< b<1 より,線分 A0 A1 と線分 A2 A3 が両端以外の点で交わる条件は

x< シス かつ (x+ ) 2+ y2<

である.

(2)  z4 の表す点を A4 とする. z が(1)の条件を満たすとき,すなわち,線分 A0 A1 と線分 A2 A3 が両端以外の点で交わるとき,線分 A3 A4 と線分 A1 A2 は両端以外で

  にあてはまるものを,次の 0 2 のうちから一つ選べ.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 二つのさいころ A B があり,各面に 1 2 3 4 5 6 という目が書かれている.これらのさいころについて, A のさいころの各面には 1 3 4 5 6 8 の目のシールを貼り, B のさいころの各面には 1 2 2 3 3 4 の目のシールを貼った.

 はじめに硬貨を投げ,次に A B のさいころを同時に投げる次の試行を行う.

●硬貨を投げて表が出れば,両方のさいころのシールをすべてはがして二つのさいころを同時に投げる.

●硬貨を投げて裏がでれば,両方ともシールをはがさずに二つのさいころを同時に投げる.

 この試行について次の問いに答えよ.ただし,シールの有無にかかわらず,さいころの各面の出方は同様に確からしいとする.

(1) 二つのさいころの目の和が 3 の倍数になる場合は,硬貨を投げて表が出たとき アイ 通りあり,裏が出たとき ウエ 通りある.したがって,この試行において二つのさいころの目の和が 3 の倍数になる確率は である.また,目の和が 3 の倍数であるという条件のもとで,二つのさいころの目の差が 2 以下である条件付き確率は である.

(2) この試行における二つのさいころの目の和を表す確率変数を X とする.

 硬貨を投げて表が出たとき,同時に投げた二つのさいころの目の和の平均(期待値)は であり,その分散は コサ である.

 硬貨を投げて裏が出たとき,二つのさいころの目の和の平均は であり,その分散は セソ である.

 したがって,この試行における X の平均 E(X ) ,分散 V(X ) ツテ である.

2004 大学入試センター試験 本試 数学II・IIB

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】 自然数 x p および n を入力して xp n で割った余りを出力するプログラムを作成する.ただし,このプログラムを実行するコンピュータは 263 以上の数値を取り扱うことができないとする.

 ここで INT (X) は X をこえない最大の整数を表す関数である.また,必要ならば  log10 2=0.3010 を用いてもよい.

[プログラム1]

(1) [プログラム1]の 120 行から 140 行の FOR 〜 NEXT 文で xp を求めている. にあてはまるものを,次の 0 6 のうちから一つ選べ.

 また,150 行で xp n で割った余りを求めている. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

(2)  263 10 進法で ウエ 桁の数である. x=4 ならば p オカ のとき, x=8 ならば p キク のとき,おのおの xp 263 であるので,〔プログラム1〕による計算は,このコンピュータでは取り扱うことができない.ただし, オカ キク にはそれぞれ条件に適する最小の自然数を答えよ.

(3) 〔プログラム1〕について(2)で述べた x p の大きさに関する制限を改善するため,次の性質を利用してプログラムを変更する.

S T を自然数とするとき, S T n で割った余りを s t とする.このとき, s< n かつ t<n であり,積 ST n で割った余りと積 st n で割った余りは等しい.」

〔プログラム2〕

 〔プログラム2〕の 110 行で x n で割った余りを計算している. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

 〔プログラム2〕を実行し,変数 X ,P ,N にそれぞれ 8 25 5 を入力する.このとき,110 行の B の値は である.さらに,130 行から 160 行の FOR 〜 NEXT 文の各ステップにおける 140 行の A*B の値のなかでの最大値は サシ である.

 130 行から 160 行までのループを 1 回処理するのに 10−8 秒必要であり,その他の行の処理時間は無視できるものとする. p=2 62 のとき〔プログラム2〕を実行するのに必要な時間を s 秒とすると, 10 スセ s< 10 スセ +1 である.

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