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【3】(1) の個の数字を並べての数をつくる.このようにしてできる桁の数のうち,互いに異なるものは全部で個ある.
(2) の個の数字から個の数字を選び,それらを並べて桁の数をつくる.このようにしてできる桁の数のうち,互いに異なるものは全部で個ある.
(3) の個の数字から個の数字を選び,それらを並べて桁の数をつくる.このようにしてできる桁の数で互いに異なるもののうち,各位の数の和が奇数になるものは全部で個あり,また,各位の数の和が偶数になるものは全部で個ある.
(4) の個の数字から個を選び,の個の数字から個を選んで,それらを並べて桁の数をつくる.このようにしてできる桁の数のうち互いに異なるもので,各位の数の和が偶数になるものは全部で個ある.
【4】 点をそれぞれ中心とする二つの円がある.円の内部に円があり,二つの円は点で接している.点における円の接線上に点をとり,から円にもう本の接線を引き,その接点をとする.さらに,点と点を結ぶ直線と円との交点をに近い方から順にとする.とには,次ののうちから正しいものを一つずつ選べ.
(1) 点を通る円が点で直線に接することを示そう.接線と弦の作る角についての性質によりなので,とは互いに相似である.したがって,である.一方,だからでもある.よって,とは互いに相似となり,となる.ゆえに,点を通る円は点で直線に接することになる.
(2) 直線がを等分しているとする.さらに円の半径がでとする.
このとき,であり,したがって円の半径はである.
次に,点を通る円の中心をとし,の内角の間の関係を調べる.(1)によりは線分上にある.とおくと,
かつ,なので,となる.ゆえに,
である.また,四角形は円に内接するので,となる.
【5】 次のプログラムを考える.ただし,A MOD B
は A
,B
が自然数の場合には,A
を B
で割った余りを表す.また,130
行と,150
行の THEN
の後は,コロン「: 」で区切られた複数の命令をその順に実行させるものである.
100 INPUT "N = " ; N
110 S = 0
120 FOR K = 1 TO N
130 A = N : B = K
140 C = (A MOD B)
150 IF C > 0 THEN A = B : B = C : GOTO 140
160 IF B > 1 THEN GOTO 190
170 S = S + 1
180 PRINT K
190 NEXT K
200 PRINT "
個数は " ; S
210 END
下の(1)〜(4)に答えよ.ただし,には,次ののうちから正しいものを一つずつ選べ.
N
以下の自然数で奇数N
以下の自然数であって,N
との公約数がのみであるものN
以下の自然数であって,N
との公約数がのみである偶数N
以下の自然数であって,N
との公約数がのみである奇数N
の約数S
A
B
C
K
N
(1) 130
行から 150
行は N
と K
の最大公約数を求めるプログラムであり,求めた最大公約数は変数の値になっている.
(2) このプログラムは,N = ?
に対し自然数 N
を入力したとき,をすべて表示し,最後にの個数を表示するようにしたものである.
(3) このプログラムを実行し,N = ?
に対しを入力したとき,
個数は
と表示され,表示されるのうちの最大の数はである.
(4) 上のプログラムにおいて,
170
行の命令を
IF (K MOD 2) = 0 THEN S = S + 1
に変更すれば,の個数の代わりにの個数を表示する.このとき,N
が偶数ならば
個数は
と表示される.