2004 大学入試センター試験 追試験 数学I/数学IAMathJax

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2004 大学入試センター試験 追試

数学I・数学IA共通

必答問題

[2]とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a を定数とし, 2 次関数

y=2 x2 ax+ a1

のグラフを C とする.

(1) グラフ C の頂点の座標は

(a , a2 + a8 )

である.また,グラフ C x 軸に接するときの a の値は

± 2

である.

(2) グラフ C が, x 軸の −1 <x <1 の部分と,異なる 2 点で交わるための a の値の範囲は

<a < 2

である.

2004 大学入試センター試験 追試

数学I・数学IA共通

必答問題

[1]とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2](1)  12 本のくじがある.そのうち当たりくじは 1 等が 1 本, 2 等が 4 本であり,残りははずれくじである.

 このくじから同時に 3 本を引く.

(ⅰ) 当たりくじをすくなくとも 1 本引く確率は サシ スセ である.

(ⅱ)  1 等, 2 等,はずれくじをそれぞれ 1 本ずつ引く確率は タチ である.

(ⅲ)  2 等を 2 本以上引く確率は ツテ トナ である.

(2)  12 本のくじがあり,その中に当たりくじが n( 0n 12) 含まれている.

 このくじから 1 本を引くとき,得点として

当たりくじならば 3 点,はずれくじならば −1

が与えられるものとする.

 得点の期待値が 1 以上になるための n の値の範囲は n である.

2004 大学入試センター試験 追試

数学I

必答問題

配点30点

数学IA【2】[2]の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 半径 47 の円 O に内接する三角形 ABC

AB=14 cos ABC = 34

を満たしている.このとき,

sin ABC= AC= ウエ

であり,

BC= オカ

である.

  ABC 2 等分線と円 O との交点のうち B と異なる方を D とする. ABC= AOD  であるから,

AD= クケ

である.さらに,

sin ADC=

であるから,三角形 ACD の面積は

である.

2004 大学入試センター試験 追試

数学I

必答問題

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】(1)  1 1 2 2 2 5 個の数字を並べて 5 けた の数をつくる.このようにしてできる 5 桁の数のうち,互いに異なるものは全部で アイ 個ある.

(2)  1 1 2 2 2 5 個の数字から 4 個の数字を選び,それらを並べて 4 桁の数をつくる.このようにしてできる 4 桁の数のうち,互いに異なるものは全部で ウエ 個ある.

(3)  4 5 5 6 4 個の数字から 3 個の数字を選び,それらを並べて 3 桁の数をつくる.このようにしてできる 3 桁の数で互いに異なるもののうち,各位の数の和が奇数になるものは全部で 個あり,また,各位の数の和が偶数になるものは全部で 個ある.

(4)  1 1 2 2 2 5 個の数字から 4 個を選び, 4 5 5 6 4 個の数字から 3 個を選んで,それらを並べて 7 桁の数をつくる.このようにしてできる 7 桁の数のうち互いに異なるもので,各位の数の和が偶数になるものは全部で キクケコ 個ある.

2004 大学入試センター試験 追試

数学IA

必答問題

(1)〜(3)および[2]とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[1]

(1)  a を実数として, x の整式

を考える. A B で割ったときの商を Q ,余りを R とすると,

であり, A B で割り切れるのは a= のときに限る.

2004 大学入試センター試験 追試

数学IA

(1)〜(3)および[2]とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[1]

(2)  b 3 以下の自然数, c d を自然数として, x の整式

P=(2 b+c 2d )x+ b c

を考える.このとき, x にどのような実数を代入しても P の値が正となるのは,

b= c = d=

のときに限る.

2004 大学入試センター試験 追試

数学IA

必答問題

(1)〜(3)および[2]とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[1]

(3)  p q r s を実数とする.次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.

(ⅰ)  p q (p+ q+1) 2+ (q1 )2= 0 を満たすことは, p=−2 かつ q=1 であるための

(ⅱ)  r または s が無理数であることは, r2 2s が無理数であるための

2004 大学入試センター試験 追試

数学IA

必答問題

[1]とあわせて配点40点

数学I【2】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[2] 半径 4 7 の円 O に内接する三角形 ABC

AB=14 cos ABC = 34

を満たしている.このとき,

sin ABC = AC = シス

である.

 さらに, ABC 2 等分線と円 O との交点のうち B と異なる方を D とする. ABC= AOD であるから,

AD= ソタ

である.また,三角形 AOD の面積は

チツ

である.

2004 大学入試センター試験 追試

数学IA

選択問題

(2)と合わせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】

(1) 数列 { an } を初項 a ,公差 d の等差数列とし,数列 { bn } を初項 −2 ,公比 r の等比数列とする.

(ⅰ)  a10= −15 a20= −45 ならば, a= アイ d= ウエ となる.

(ⅱ)  a1= b2 a2= b1 a3= b3 r1 ならば, d= オカ r= キク となる.

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数学IA

選択問題

(1)と合わせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】

(2) 次で定まる数列 { cn } を考える.

c1= 2 c n+1 = cn+ n2+3 ( n=1 2 3 )

 このとき, c25 c23= ケコ であり, c25= サシス となる.

2004 大学入試センター試験 追試

数学IA

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  2 O O をそれぞれ中心とする二つの円がある.円 O の内部に円 O があり,二つの円は 1 A で接している.点 A における円 O の接線上に点 P をとり, P から円 O にもう 1 本の接線を引き,その接点を B とする.さらに,点 P と点 O を結ぶ直線と円 O との交点を P に近い方から順に Q R とする. には,次の 0 9 のうちから正しいものを一つずつ選べ.

(1)  3 Q R B を通る円が点 B で直線 PB に接することを示そう.接線と弦の作る角についての性質により PAQ= PRA なので, PAQ PRA は互いに相似である.したがって, PA 2= である.一方, PA= PB だから PB 2 = でもある.よって, PBQ は互いに相似となり, PBQ= となる.ゆえに, 3 Q R B を通る円は点 B で直線 PB に接することになる.

(2) 直線 PR OPA 2 等分しているとする.さらに円 O の半径が 6 PA =8 とする.

 このとき, OP= ウエ であり,したがって円 O の半径は である.

 次に, 3 Q R B を通る円の中心を O とし, O O O の内角の間の関係を調べる.(1)により O は線分 OB 上にある. O O O =θ とおくと,

AP O = 90° P O A= 90° R O O

かつ, R O O = キク ° なので, AP O = θ となる.ゆえに,

cosθ = コサ 10

である.また,四角形 O O PB は円に内接するので, O O O= θ となる.

2004 大学入試センター試験 追試

数学IA

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 次のプログラムを考える.ただし,A MOD B は A ,B が自然数の場合には,A を B で割った余りを表す.また,130 行と,150 行の THEN の後は,コロン「: 」で区切られた複数の命令をその順に実行させるものである.

 下の(1)〜(4)に答えよ.ただし, には,次の 0 E のうちから正しいものを一つずつ選べ.

(1) 130 行から 150 行は N と K の最大公約数を求めるプログラムであり,求めた最大公約数は変数 の値になっている.

(2) このプログラムは,N = ? に対し自然数 N を入力したとき, をすべて表示し,最後に の個数を表示するようにしたものである.

(3) このプログラムを実行し,N = ? に対し 15 を入力したとき,

個数は

と表示され,表示される のうちの最大の数は エオ である.

(4) 上のプログラムにおいて, 170 行の命令を

IF (K MOD 2) = 0 THEN S = S + 1

に変更すれば, の個数の代わりに の個数を表示する.このとき,N が偶数ならば

個数は

と表示される.

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