2004　大学入試センター試験　追試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

［１］　三角関数の加法定理から導かれる等式

• $\sin \alpha +\sin \beta ={\displaystyle 2\frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$，
• $\sin \alpha \sin \beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}$

を用いて，${\sin }^{3}10°+{\sin }^{3}50°-{\sin }^{3}70°$の値を求めよう．

(1)　$\sin 10°+\sin 50°$を変形すると

$2\sin 30°\cos \boxed{\text{アイ}}°$

となる．したがって

$\sin 10°+\sin 50°-\sin 70°=\boxed{\text{ウ}}$

である．

(2)　$\sin 10°\sin 50°$を変形すると

${\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos \boxed{\text{エオ}}°-\cos 60°)$

となる．したがって

• $\sin 10°\sin 50°\sin 70°$
• $={\displaystyle \frac{1}{2}\cos \boxed{\text{エオ}}°\sin 70°-\frac{1}{4}\sin 70°}$
• $={\displaystyle \frac{1}{4}}(\sin 110°+\sin \boxed{\text{カキ}}°-\sin 70°)$
• $={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

(3)　$a+b+c=0$のとき，等式

$a^3+b^3-c^3=-\boxed{\text{コ}}abc$

が成り立つから

${\sin }^{3}10°+{\sin }^{3}50°-{\sin }^{3}70°=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

【１】

［２］　$a$を定数として

$f(x)={\log }_2(4-x^2)-{\log }_2(4-a^2+2ax-x^2)$

とする．

(1)　関数$y={\log }_2(4-x^2)$の定義域は，区間

$-\boxed{\text{ス}}<x<\boxed{\text{セ}}$

である．また，関数$y={\log }_2(4-a^2+2ax-x^2)$の定義域は，区間

$\boxed{\text{ソ}}-\boxed{\text{タ}}<x<\boxed{\text{ソ}}+\boxed{\text{タ}}$

である．

(2)　少なくとも一つの実数$x$に対して$f\left(x\right)$の値が定まるような$a$の値の範囲は

$-\boxed{\text{チ}}<a<\boxed{\text{ツ}}$

である．このとき，関数$y=f(x)$の定義域は

• $-\boxed{\text{チ}}<a\leqq \boxed{\text{テ}}$ならば$\boxed{\text{トナ}}<x<\boxed{\text{ニ}}+\boxed{\text{ヌ}}$
• $\boxed{\text{テ}}<a<\boxed{\text{ツ}}$ならば$\boxed{\text{ネ}}-\boxed{\text{ノ}}<x<\boxed{\text{ハ}}$

で定まる区間である．（$\boxed{\text{ニ}}$と$\boxed{\text{ヌ}}$は解答の順序を問わない．）

(3)　$a=\mathrm{-2}$のとき，方程式$f\left(x\right)=1$の解は

$x=-\boxed{\text{ヒ}}+\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}$

である．

【２】　$0<a<1$とし，直線$l:y=x+a$と直線$x=1-a$および$x$軸によって囲まれた三角形を$R$とする．三角形$R$の中で$y\leqq -x^2+a^2$を満たす部分の面積を$S(a)$で表す．$y=-x^2+a^2$で表される放物線を$C$とする．

(1)　放物線$C$と直線$l$が接するときの$a$の値を$a_0$とすると，$a_0={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．$a\ne a_0$のとき，$C$と$l$の交点は

$\mathrm{P}(\boxed{\text{ウエ}},\boxed{\text{オ}})\text{，}$$\mathrm{Q}(\boxed{\text{カ}}-\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{クケ}}-\boxed{\text{コ}})$

である．

(2)　$0<a<a_0$のとき，$S(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}{a}^{\boxed{\text{ス}}}$である．

　$a_0\leqq a<1$のとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の中で$a-1\leqq x\leqq 1-a$を満たす部分の面積は${\displaystyle -\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}{a}^3+\boxed{\text{タ}}a-\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$であるから，$S\left(a\right)={\displaystyle -\frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}{a}^3+\boxed{\text{ナ}}{a}^2-\frac{1}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

(3)　$h$は$0<h<1-a_0$を満たすとする．$a$の値が$a_0$から$a_0+h$まで変化するときの関数$S(a)$の平均変化率は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}{h}^2+\boxed{\text{ノ}}$であり，$h$を限りなく$0$に近づけるとき，この式の値は限りなく$\boxed{\text{ハ}}$に近づく．

【３】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする円$x^2+y^2=4$を$C$とする．$C$を平行移動して，中心が直線$y=2x$上にあり，直線$y=\mathrm{-1}$に接するようにする．このようにして得られる二つの円を$C_1\text{，}$$C_2$とする．ただし，$C_1$の中心は第$1$象限にあるものとする．

(1)　$C_1$の中心${\mathrm{O}}_1$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}},\boxed{\text{ウ}})$であり，$C_1$の方程式は

$x^2+y^2-x-\boxed{\text{エ}}y-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}}=0$

である．

　$C$と$C_1$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}})}$

であり，直線$\mathrm{PQ}$の方程式は

$y={\displaystyle -\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}x+\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

(2)　$C_2$の中心を${\mathrm{O}}_2$とする．${\mathrm{O}}_2$の座標は$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}},-\boxed{\text{ツ}})$であり，線分${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$の中点の座標は$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}},-\boxed{\text{ナ}})$である．二つの円$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する直線のうち，傾きが負であるものの方程式は

$\boxed{\text{ニ}}x+\boxed{\text{ヌ}}y+5=0$

である．

【４】　座標平面上の放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(a,a^2)$と$\mathrm{Q}(b,b^2)$をとる．

(1)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{アイ}}x-{\boxed{\text{ウ}}}^{\boxed{\text{エ}}}$である．

　$a=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$のとき，接線$l$と直線$\mathrm{PQ}$が直交するならば，$b=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．

(2)　以下，$a={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\text{，}b=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}{\displaystyle (\frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}},\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}})}$に関して，点$\mathrm{R}$と対称な点を$\mathrm{S}$とする．点$\mathrm{R}$が放物線$C$上を動くとき，点$\mathrm{S}$は放物線

$D:y=-x^2+\sqrt{\boxed{\text{コ}}}x+\boxed{\text{サ}}$

上を動く．$C$と$D$の交点のうち，$x$座標が正となる点の座標は$(\sqrt{\boxed{\text{シ}}},\boxed{\text{シ}})$であり，$C$と$D$の$0\leqq x\leqq \sqrt{\boxed{\text{シ}}}$の部分と$y$軸によって囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【３】　四面体 $\mathrm{OPQR}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{0R}}=\overrightarrow{r}$とおく．

(1)　$0<a<1$として，線分$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{QR}$を$a:(1-a)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})\overrightarrow{q}+\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{r}$

である．線分$\mathrm{OQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$の中点をそれぞれ$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{W}$とし，線分$\mathrm{UW}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{M}$とすれば

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}\{\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{p}+(\boxed{\text{キ}}-\boxed{\text{ク}})\overrightarrow{q}$$+\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{r}\}$

である．よって，$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{ST}$上にあり

$\mathrm{SM}:\mathrm{ST}=1:\boxed{\text{コ}}$

である．直線$\mathrm{OM}$が三角形$\mathrm{PQR}$と交わる点を$\mathrm{N}$とする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}}}\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

である．（$\boxed{\text{シ}}$と$\boxed{\text{ス}}$は解答の順序を問わない．）さらに，点$\mathrm{N}$が三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$と一致しているとする．このとき

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

(2)　次に，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{OR}=1\text{，}$$\angle \mathrm{POR}=90°$で，点$\mathrm{O}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$を通る直線$\mathrm{OG}$が三角形$\mathrm{PQR}$に垂直であるとき，$\angle \mathrm{POQ}$の大きさと線分$\mathrm{OG}$の長さを求めよう．直線$\mathrm{OG}$が三角形$\mathrm{PQR}$に垂直であるための条件は，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=0$であるから

$\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}=\boxed{\text{タ}}\text{，}\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=\boxed{\text{チツ}}$

である．よって

$\angle \mathrm{POQ}=\boxed{\text{テトナ}}°\text{，}$$\mathrm{OG}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【４】　複素数平面上で複素数 $0\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$の表す点をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点とする三角形は正三角形であり，$\arg {\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}>0°$とする．ただし，複素数$z$の偏角を$\arg z$で表し，$\mathrm{-180}°<\arg z\leqq 180°$とする．

(1)　$\arg {\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=\boxed{\text{アイ}}°$であり$\left|{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\right|=\boxed{\text{ウ}}$であるから

$\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}-\sqrt{\boxed{\text{オ}}}i}{\boxed{\text{カ}}}}\alpha$

である．三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$を表す複素数を$\gamma$とすると

$\gamma ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}i}{\boxed{\text{ケ}}}}\alpha$

である．

(2)　さらに，複素数平面上で$6$の表す点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$が辺$\mathrm{AB}$上にあるように，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が動くとする．このとき$\angle \mathrm{OAB}=60°$であるから，点$\mathrm{A}$が描く図形は$\delta =\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サ}}}i$が表す点を中心とする半径$\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$の円周の

$\boxed{\text{セソタ}}°\leqq \arg (\alpha -\delta )\leqq \boxed{\text{チツ}}°$

を満たす部分である．したがって，三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$が描く図形は$\boxed{\text{テ}}$を表す点を中心とする半径$\boxed{\text{ト}}$の円周の

$\boxed{\text{ナニヌ}}°\leqq \arg (\gamma -\boxed{\text{テ}})\leqq \boxed{\text{ネノ}}°$

を満たす部分である．

【５】　$x$座標，$y$座標が共に$0$以上$3$以下の整数である座標平面上の点の集合を$M$とする．$M$の中で，点$\mathrm{P}$を，次の規則に従って動かす．

• 規則：$1$枚の硬貨を投げたとき，表が出たならば，$x$軸の正の方向に$1$だけ動かす．動かせないときはその点にとどめる．
• 裏が出たならば，$y$軸の正の方向に$1$だけ動かす．動かせないときはその点にとどめる．

　硬貨を繰り返し投げ，点$\mathrm{O}$$(0,0)$を出発点として，点$\mathrm{P}$を順次動かす．

(1)　硬貨を$2$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の座標が$\left(2,0\right)$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$(1,1)$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　硬貨を$4$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,0)$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}\text{，}$$(3,1)$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$$(2,2)$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

(3)　硬貨を$4$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標を確率変数$X$で表すと，$X$の平均（期待値）は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$，分散は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチツ}}}{\boxed{\text{テトナ}}}}$である．

(4)　硬貨を$6$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$3$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$である．また，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$3$であるという条件のもとで，$y$座標が$2$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒフ}}}}$である．

【６】　自然数$k$と座標平面上の点${\mathrm{A}}_{k-1}(x_{k-1},y_{k-1})$に対して，点${\mathrm{A}}_k(x_k,y_k)$を以下のように定める．$c$を自然数とし，関係式

$x_k=x_{k-1}+c{y}_{k-1}$$\cdots \text{①}$

で$x_k$を定め，さらに$y_{k-1}$と$\text{①}$で定めた$x_k$を用いて

$y_k=-c{x}_k+y_{k-1}$$\cdots \text{②}$

で$y_k$を定める．座標平面上の点${\mathrm{A}}_0(x_0,y_0)$を与え，関係式$\text{①}$と関係式$\text{②}$を用いて，$n$個の点${\mathrm{A}}_1(x_1,y_1)\text{，}$${\mathrm{A}}_2(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n(x_n,y_n)$を次々に定める．ただし，$x_0\text{，}$$y_0$は整数，$n$は自然数とする．

　点${\mathrm{A}}_0$の座標$(x_0,y_0)$，自然数$c\text{，}$および自然数$n$を入力し，$n$個の点${\mathrm{A}}_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$の中で点${\mathrm{A}}_0$に一致するようなものがあるかを調べる．もし一致するものがあれば${\mathrm{A}}_0={\mathrm{A}}_k$となる最小の番号$k$を出力し，一致するものがなければそのような番号がないことを出力するプログラムを作成する．

〔１〕プログラム

• 100 INPUT "A0 の座標" ; X,Y
• 110 INPUT"cの値"; C
• 120 INPUT "点の個数,n"; N
• 130 V1=X: W1=Y
• 140 FOR K=1 TO N
• 150  V2= $\boxed{\text{ア}}$ + $\boxed{\text{イ}}$ * $\boxed{\text{ウ}}$
• 160  W2= - $\boxed{\text{エ}}$ * $\boxed{\text{オ}}$ + $\boxed{\text{カ}}$
• 170  IF V2 $\boxed{\text{キ}}$ X THEN GOTO 190
• 180  IF W2 $\boxed{\text{ク}}$ Y THEN GOTO 230
• 190  V1=V2 : W1=W2
• 200 NEXT K
• 210 PRINT "A0=Akとなるkは1からnまでにはない．"
• 220 GOTO 240
• 230 PRINT "A0=Akとなるn以下で最小の番号kは"; K
• 240 END

(1)　このプログラムにおいて，100 行で点${\mathrm{A}}_0$の座標$(x_0,y_0)$が入力され，150 行では V2 として$x_k$の値が計算され，160 行では W2 として$y_k$の値が計算される．$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．（$\boxed{\text{イ}}$と$\boxed{\text{ウ}}$の解答の順序，および$\boxed{\text{エ}}$と$\boxed{\text{オ}}$の解答の順序は問わない．）

• $\overline{)\text{0}}$X
• $\overline{)\text{1}}$Y
• $\overline{)\text{2}}$K
• $\overline{)\text{3}}$N
• $\overline{)\text{4}}$C
• $\overline{)\text{5}}$V1
• $\overline{)\text{6}}$W1
• $\overline{)\text{7}}$V2
• $\overline{)\text{8}}$W2

(2)　点${\mathrm{A}}_k$$(k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$ $n)$が${\mathrm{A}}_0$に一致しているかを，170 行と 180 行において判定する．$\boxed{\text{キ}}$と$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ =
• $\overline{)\text{1}}$ >=
• $\overline{)\text{2}}$ <=
• $\overline{)\text{3}}$ <>

〔２〕　このプログラムを実行し，変数 X ，Y にそれぞれ$1\text{，}$$0$を，変数 C に$1$を入力する．変数 N に$2$を入力したとき，160 行実行後の V2 ，W2 の値は

• K = 1のとき，V2 = $\boxed{\text{ケ}}$，W2 = $\boxed{\text{コサ}}\text{，}$
• K = 2のとき，V2 = $\boxed{\text{シ}}$，W2 = $\boxed{\text{スセ}}$

である．したがって，プログラム実行後の出力は$\boxed{\text{ソ}}$である．また，変数 N に$6$を入力したとき，プログラム実行後の出力は$\boxed{\text{タ}}$である．$\boxed{\text{ソ}}$と$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ A0=Ak となるn 以下で最小の番号k は$2$
• $\overline{)\text{1}}$ A0=Ak となるn 以下で最小の番号k は$3$
• $\overline{)\text{2}}$ A0=Ak となるn 以下で最小の番号k は$4$
• $\overline{)\text{3}}$ A0=Ak となるn 以下で最小の番号k は$5$
• $\overline{)\text{4}}$ A0=Ak となるn 以下で最小の番号k は$6$
• $\overline{)\text{5}}$ A0=Ak となるk は$1$から n までにはない．