2005　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$a$を定数とし，$x$の$2$次関数

$y=x^2-2(a+2)x+a^2-a+1$

のグラフを$G$とする．

(1)　グラフ$G$と$y$軸との交点の$y$座標を$Y$とする．$Y$の値が最小になるのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$のときで，最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．このときグラフ$G$は$x$軸と異なる$2$点で交わり，その交点の$x$座標は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{カキ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(2)　グラフ$G$が$y$軸に関して対称になるのは$a=-\boxed{\text{ケ}}$のときで，このときのグラフを$G_1$とする．

　グラフ$G$が$x$軸に接するのは$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のときで，このときのグラフを$G_2$とする．

　グラフ$G_1$を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$，$y$軸方向に$\boxed{\text{セソ}}$だけ平行移動するとグラフ$G_2$に重なる．

【１】

［２］　大小$2$個のさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}$$b$とし，$2$次関数$y=x^2-{\displaystyle \frac{b-2}{a}}$のグラフを$C$とする．

(1)　グラフ$C$と$x$軸との共有点の個数が$0$個である確率（すなわちグラフ$C$が$x$軸と共有点をもたない確率）は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$であり，共有点の個数が$1$個である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$，共有点の個数が$2$個である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(2)　グラフ$C$と$x$軸との共有点の個数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

(3)　グラフ$C$と$x$軸とが共有点をもち，かつ共有点の$x$座標がすべて整数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハヒ}}}}$である．

【２】　線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上に$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$があり，

$\mathrm{AC}=2\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AD}=8\text{，}$$\tan \angle \mathrm{CAD}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

であるとする．さらに，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

　このとき，

$\cos \angle \mathrm{CAD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$$\mathrm{CD}=\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．

　また，

$▵\mathrm{ADC}$ の面積は$\boxed{\text{カ}}$

であり，

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{キク}}\text{，}\mathrm{BD}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\mathrm{DE}=\boxed{\text{コ}}$

である．

【３】　数直線上の点$\mathrm{P}$を，さいころを投げて出た目の数だけ移動させることにする．移動する方向は，偶数の目なら正，奇数の目なら負とする．

(1)　さいころを$3$回投げる．投げ終わったとき点$\mathrm{P}$が最初の位置に戻っているためには，偶数の目が$\boxed{\text{ア}}$回，奇数の目が$\boxed{\text{イ}}$回出る場合しかない．よって点$\mathrm{P}$が最初の位置に戻っている目の出方は$\boxed{\text{ウエ}}$通りある．

(2)　さいころを$4$回投げる．投げ終わったとき点$\mathrm{P}$が最初の位置に戻っている確率を求めたい．

(ⅰ)　さいころの目が$2\text{，}$$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$1\text{，}$$3$の順に出た場合，点$\mathrm{P}$は最初の位置に戻っている．これらの数字$2\text{，}$$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$1\text{，}$$3$を全部使って作られる順列の総数は$\boxed{\text{カキ}}$通りある．これらの場合もすべて，点$\mathrm{P}$は最初の位置に戻っている．

(ⅱ)　さいころの目が$2\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$1\text{，}$$5$の順に出た場合，やはり点$\mathrm{P}$は最初の位置に戻っている．これらの数字$2\text{，}\boxed{\text{ク}}\text{，}1\text{，}5$を全部使って作られる順列の総数は$\boxed{\text{ケコ}}$通りある．

(ⅲ)　さいころを$4$回投げ終わったとき，点$\mathrm{P}$が最初の位置に戻っているためには，偶数の目が$\boxed{\text{サ}}$回，奇数の目が$\boxed{\text{シ}}$回出る場合しかない．よって点$\mathrm{P}$が最初の位置に戻っている目の出方は$\boxed{\text{スセ}}$通りあり，求める確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

【２】

〔１〕　$a\text{，}$$b$を実数とし，$x$の整式

$A=x^4+(a^2-a-1)x^2$$+(-a^2+b)x+b^3\text{，}$$B=x^2-x-a$

を考える．$A$を$B$で割った商を$Q\text{，}$余りを$R$とすると，

$Q=x^2+x+a^{\boxed{\text{ア}}}$

$R=(a+b)x+a^{\boxed{\text{イ}}}+b^{\boxed{\text{ウ}}}$

である．

(1)　$R=x+7$のとき，$a=\boxed{\text{エ}}$または$a=\boxed{\text{オカ}}$である．

(2)　$\boxed{\text{キ}}$と$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

(ⅰ)　$a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$は，すべての実数$x$に対して$Q>0$となるための$\boxed{\text{キ}}$．

(ⅱ)　$a+b=0$は，$A$が$B$で割り切れるための$\boxed{\text{ク}}$．

• $\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である
• $\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが十分条件ではない
• $\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが必要条件ではない
• $\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【２】

〔２〕　線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上に$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$があり，

$\mathrm{AC}=2\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AD}=8\text{，}$$\tan \angle \mathrm{CAD}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

であるとする．

　このとき，

$\cos \angle \mathrm{CAD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}$$\mathrm{CD}=\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$

である．

　さらに，

$▵\mathrm{ADC}\text{の面積は}\boxed{\text{セ}}\text{，}\mathrm{AB}=\boxed{\text{ソタ}}$

である．

【３】

(1)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$が

$S_n=-n^2+24n$$(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$

で与えられるものとする．このとき$a_1=\boxed{\text{アイ}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{ウエ}}$である．また$a_n<0$となる自然数$n$の値の範囲は$n\geqq \boxed{\text{オカ}}$であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{40}}|a_k|=\boxed{\text{キクケ}}$

となる．

【３】

(2)　初項$1$，公比$3$の等比数列を$\{b_k\}$とおく．各自然数$n$に対して，$b_k\leqq n$を満たす最大の$b_k$を$c_n$とおく．例えば，$n=5$のとき

$b_2=3\text{，}$$b_3=9$であり$b_1<b_2\leqq 5<b_3<b_4<\cdots$

なので$c_5=b_2=3$である．

(ⅰ)　$c_{10}=\boxed{\text{コ}}$であり，$c_n=27$である自然数$n$は全部で$\boxed{\text{サシ}}$個ある．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{30}}{c}_k=\boxed{\text{スセソ}}$である．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$は鈍角で，$\angle B=30°$である．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に引いた垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{AC}$は$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{M}$を通る円と点$\mathrm{A}$で接しているとする．

　下の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$については，最も適当なものを次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{F}}$のうちから一つずつ選べ．

　直角三角形$\mathrm{HBC}$において$\angle \mathrm{HBC}=30°$なので，$\mathrm{BC}=2\boxed{\text{ア}}$である．一方$\angle \mathrm{MAC}=\angle \boxed{\text{イ}}$なので，$▵\mathrm{MAC}$と$▵\boxed{\text{イ}}$は相似になる．したがって

${\mathrm{AC}}^2=\mathrm{MC}\cdot \boxed{\text{ウ}}$

となる．$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{BC}$の中点なので

$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{エ}}}\mathrm{CH}$

が成り立つ．したがって$▵\mathrm{HAC}$ は$\boxed{\text{オ}}$であり，$\angle \mathrm{AMB}=\boxed{\text{カキ}}°$となる．

　$\mathrm{AC}$と$\mathrm{HM}$の交点を$\mathrm{K}$，直線$\mathrm{BK}$と$\mathrm{HC}$の交点を$\mathrm{L}$とする．$▵\mathrm{HBK}$と$▵\mathrm{BCK}$の面積比は$\mathrm{HL}:\mathrm{LC}$であり，$▵\mathrm{CHK}$と$▵\mathrm{BCK}$の面積比は

$▵\mathrm{CHK}:▵\mathrm{BCK}=\mathrm{HA}:\boxed{\text{ク}}$

である．また，$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{BC}$の中点だから，$▵\mathrm{HBK}$と$▵\mathrm{CHK}$の面積は等しい．ゆえに，$\mathrm{HL}:\mathrm{LC}=\mathrm{HA}:\boxed{\text{ク}}$が成り立つ．

　したがって$▵\mathrm{HAL}$と$▵\mathrm{HBC}$の面積比は

$▵\mathrm{HAL}:▵\mathrm{HBC}=1:\boxed{\text{ケ}}$

となる．

【５】　次のプログラムを考える．ただし，Nには自然数を入力するものとする．また，INT(X)はXを超えない最大整数を与える関数である．

• 100 INPUT "N=" ; N
• 110 IF N<9 THEN GOTO 230
• 120 FOR A=1 TO N
• 130  FOR B=1 TO N
• 140   IF B=2*INT(B/2) THEN GOTO 210
• 150   IF B=A THEN GOTO 210
• 160   FOR C=1 TO N
• 170    IF C=A THEN GOTO 200
• 180    IF C=B THEN GOTO 200
• 190    PRINT 100*A+10*B+C
• 200   NEXT C
• 210  NEXT B
• 220 NEXT A
• 230 END

(1)　上のプログラムを実行し，N=?に$3$を入力すると，$3$桁の数が$\boxed{\text{ア}}$個表示される．特に，$2$番目に表示される$3$桁の数は$\boxed{\text{イウエ}}$である．

(2)　上のプログラムを実行し，N=?に$5$を入力すると，150行は$\boxed{\text{オカ}}$回実行され，$\boxed{\text{イウエ}}$は$\boxed{\text{キ}}$番目に表示される．

(3)　上のプログラムの160行と180行を，それぞれ次のように書き直す．

• 160   FOR C=B TO N
• 180    IF C=B*INT(C/B) THEN GOTO 200

　変更したこのプログラムを実行し，N=?に$7$を入力する．このとき，表示される$3$桁の数のうち，最大の数は$\boxed{\text{クケコ}}$であり，$300$以上$500$以下の数は$\boxed{\text{サ}}$個である．