2005　大学入試センター試験　本試験　数学II／数学IIBMathJax

【１】

［１］　座標平面上の$3$点

$\mathrm{A}(\mathrm{-1},0)\text{，}$$\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{C}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$

について，$\theta$が$0°\leqq \theta \leqq 180°$の範囲を動くとき

$d=\mathrm{AC}+\mathrm{BC}$

の最大値と最小値を求めよう．

(1)　

• ${\mathrm{AC}}^2=\boxed{\text{ア}}+2\cos 2\theta =\boxed{\text{イ}}{\cos }^2\theta$
• ${\mathrm{BC}}^2=\boxed{\text{ウ}}-2\cos \theta =\boxed{\text{エ}}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

であるから

$d=\boxed{\text{オ}}|\cos \theta |+\boxed{\text{カ}}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

である．

(2)　$t=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$とおく．

　$0°\leqq \theta \leqq 90°$のとき$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり，$d=-\boxed{\text{ケ}}{t}^2+\boxed{\text{コ}}t+2$である．

　$90°\leqq \theta \leqq 180°$のとき${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}\leqq t\leqq 1$であり，$d=\boxed{\text{ケ}}{t}^2+\boxed{\text{コ}}t-2$である．

　したがって，$d$は$t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$のとき最小値$\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$をとり，このときの$\theta$の値は$\boxed{\text{セソ}}°$である．また$d$は$t=\boxed{\text{タ}}$のとき最大値$\boxed{\text{チ}}$をとり，このときの$\theta$の値は$\boxed{\text{ツテト}}°$である．

【１】

［２］　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は正の数で$2^x={\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^y=3^z$をみたしているとする．このとき

$a=2x\text{，}$$b={\displaystyle \frac{5}{2}}y\text{，}$$c=3z$

とおき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の大小関係を調べよう．

(1)　$x=y({\log }_2\boxed{\text{ナ}}-\boxed{\text{ニ}})$であるから

$b-a=y({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{2}}-2{\log }_2\boxed{\text{ナ}})$

である．したがって，$a$と$b$を比べると$\boxed{\text{ネ}}$の方が大きい．

(2)　$x=z{\log }_2\boxed{\text{ノ}}$であるから

$c-a=z(3-2{\log }_2\boxed{\text{ノ}})$

である．したがって，$a$と$c$を比べると$\boxed{\text{ハ}}$の方が大きい．

(3)　$3^5<{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^6$であることを用いると，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の間には大小関係

$\boxed{\text{ヒ}}<\boxed{\text{フ}}<\boxed{\text{ヘ}}$

が成り立つことがわかる．

【２】　 $a$を定数とし，放物線

$y=x^2+2ax-a^3-2a^2$

を$C$，その頂点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　頂点$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{アイ}},-a^{\boxed{\text{ウ}}}-\boxed{\text{エ}}{a}^2)$

である．したがって，どのような定数$a$についても，頂点$\mathrm{P}$は

$y=x^{\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カ}}{x}^2$

のグラフ上にある．

(2)　$a$が$\mathrm{-3}\leqq a<1$の範囲を動くとする．頂点$\mathrm{P}$の$y$座標の値が最大となるのは$a=\boxed{\text{キ}}$と$a=\boxed{\text{クケ}}$のときであり，最小となるのは$a=\boxed{\text{コサ}}$のときである．

(3)　$a$の値を(2)で求めた$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{クケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コサ}}$とするときの放物線$C$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$とする．放物線$C_2\text{，}$$C_3$の方程式は

$C_2:y=x^2-\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}$

$C_3:y=x^2-\boxed{\text{セ}}x$

である．

　このとき

• $C_1$と$C_2$の交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{2}}$
• $C_1$と$C_3$の交点の$x$座標は$\boxed{\text{タ}}$
• $C_2$と$C_3$の交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{2}}$

である．

(4)　$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$を座標平面上に図示したとき，それらの位置関係を表す最も適当なものは，下の図$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち$\boxed{\text{ツ}}$である．ただし，座標軸や曲線名は省略してある．

　三つの放物線$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$ である．

$\overline{)\text{0}}$	$\overline{)\text{1}}$	$\overline{)\text{2}}$	$\overline{)\text{3}}$

【３】　円$x^2+y^2=1$を$C_0$とし，$C_0$を$x$軸の正の方向に$2a$だけ平行移動した円を$C_1$とする．ただし，$a$は$0<a<1$とする．また，$C_0$と$C_1$の二つの交点のうち第$1$象限にある方を$\mathrm{A}\text{，}$もう一方を$\mathrm{B}$とする．

(1)　円$C_1$の方程式は${(x-\boxed{\text{アイ}})}^2+y^2=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$\mathrm{P}(u,v)$を$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と異なる$C_0$上の点とし，三角形$\mathrm{PAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の座標は

$({\displaystyle \frac{u+\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}},{\displaystyle \frac{v}{\boxed{\text{キ}}}})$

である．これにより，$\mathrm{P}$が$C_0$から$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を除いた部分を動くときの$\mathrm{G}$の軌跡は，方程式

${\left(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}a\right)}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}}}}$

で与えられる円$D$から$2$点

$(\boxed{\text{サ}},{\displaystyle \frac{\sqrt{1-{\boxed{\text{シ}}}^2}}{\boxed{\text{ス}}}})$

と

$(\boxed{\text{サ}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{1-{\boxed{\text{シ}}}^2}}{\boxed{\text{ス}}}})$

を除いた部分であることがわかる．

(3)　点$\mathrm{A}$における円$C_1$の接線$l$の方程式は

$-ax+\sqrt{1-{\boxed{\text{シ}}}^2}y+\boxed{\text{セ}}{a}^{\boxed{\text{ソ}}}-1=0$

である．$D$の中心と$l$の距離は

${\displaystyle \frac{|\boxed{\text{タ}}{a}^2-\boxed{\text{チ}}|}{3}}$

であるから，$D$と$l$が共有点をもたないような$a$の値の範囲は

$0<a<{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

である．

【４】　放物線$y=x^2$を$C$とし，放物線$y=a{x}^2+bx+c$$\text{（}a\ne 0\text{）}$を$D$とする．放物線$D$は点$\mathrm{P}(1,1)$を通り，さらに，$D$の点$\mathrm{P}$における接線$m$は$C$の点$\mathrm{P}$における接線$l$に直交しているとする．

(1)　接線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}$

である．接線$l$と$m$は直交しているから，$b$は$a$を用いて

$b=-\boxed{\text{ウ}}a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\cdots \text{①}$

と表される．さらに，放物線$D$が点$\mathrm{P}$を通るから，$c$は$a$を用いて

$c=\boxed{\text{カ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{2}}\cdots \text{②}$

と表される．$\text{①}\text{，}$$\text{②}$から，放物線$D$の頂点$\mathrm{Q}$は$a$を用いて

$\mathrm{Q}{\displaystyle (1+\frac{1}{\boxed{\text{ク}}a},\boxed{\text{ケ}}-\frac{1}{\boxed{\text{コサ}}a})}$

と表される．したがって，$a$の値が変化するとき，頂点$\mathrm{Q}$は直線

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}x+\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

上を動く．

(2)　点$\mathrm{Q}$が放物線$C$上の点となるのは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のときである．このとき，放物線$C$の$x\geqq 0$の部分と放物線$D$の$x\geqq 0$の部分および$y$軸によって囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{108}}$である．

【３】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}(4,0)\text{，}$$\mathrm{Q}(0,3)$を頂点とする三角形$\mathrm{OPQ}$の内部に三角形$\mathrm{ABC}$があるとする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線と$\mathrm{OQ}$との交点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OP}$に引いた垂線と$\mathrm{OP}$との交点をそれぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{PQ}$に引いた垂線と$\mathrm{PQ}$との交点をそれぞれ${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}$${\mathrm{C}}_3$とする．

　${\mathrm{A}}_1$が線分${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の中点であり，${\mathrm{B}}_2$が線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_2$の中点であり，${\mathrm{C}}_3$が線分 ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3$ の中点であるとする．

　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(x,y)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(z,w)$とおく．${\mathrm{A}}_1$が線分${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の中点であるから$w=\boxed{\text{ア}}y$である．${\mathrm{B}}_2$が線分 ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_2$の中点であるから $z=\boxed{\text{イ}}x$である．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とすると，${\mathrm{C}}_3$が線分 ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3$の中点であるから

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{ウ}}$

である．また

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(\boxed{\text{エオ}},\boxed{\text{カ}})\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

であるから

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}x$

である．したがって

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=x{\displaystyle (1,\frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}})}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x{\displaystyle (\boxed{\text{イ}},\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}})}$

である．ゆえに

$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\mathrm{AB}\text{，}\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テト}}}}{\boxed{\text{ナニ}}}}$

である．

【４】　二つの複素数$p\text{，}$$q$と三つの異なる複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は

$\begin{array}{rr}\alpha +\beta +\gamma =0& \cdots \text{①}\\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =p& \cdots \text{②}\\ \alpha \beta \gamma =q& \cdots \text{③}\end{array}$

を満たすとする．複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$が複素数平面上で表す点をそれぞれ $\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形であるとする．

　このとき

$\arg {\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}=\pm \boxed{\text{アイ}}°\text{，}\left|{\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}\right|=\boxed{\text{ウ}}$

である．ここで，複素数$z$の偏角$\arg z$は$\mathrm{-180}°\leqq \arg z<180°$を満たすとする．

　以下$\arg {\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}=\boxed{\text{アイ}}°$であるとする．このとき，$\text{①}$を用いると

$\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}+\boxed{\text{カ}}i}{\boxed{\text{キ}}}}\alpha \text{，}$$\gamma ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}-\boxed{\text{コ}}i}{\boxed{\text{サ}}}}\alpha$

である．

　さらに，$\text{②}\text{，}$$\text{③}$から

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}{\alpha }^{\boxed{\text{セ}}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}{\alpha }^{\boxed{\text{チ}}}$

である．したがって，$p$と$q$は

$\boxed{\text{ツテ}}{p}^{\boxed{\text{ト}}}=\boxed{\text{ナニ}}{q}^{\boxed{\text{ヌ}}}$

を満たさなければならない．

　さらに，複素数平面上に点$\mathrm{D}$があり，四角形$\mathrm{ABDC}$が正方形であるとき，$\mathrm{D}$を表す複素数は$\boxed{\text{ネノ}}\alpha$である．

【５】　さいころを最大$5$回まで投げ，目の出方に応じてポイントを得る次のゲームを$\mathrm{D}$さんがおこなう．$\mathrm{D}$さんは最初$a$ポイントをもっている．

　さいころを投げて，$5$または$6$の目が出る事象を$A$とする．事象$A$が初めて起こった時点では$1$ポイントを得て引き続きゲームを続行し，$2$度目に事象$A$が起これば$2$ポイントが加算されて合計$3$ポイントを得て，その時点でゲームを終了する．なお、さいころを$5$回投げても，事象$A$が一度しか起こらない場合には，$1$度目に得た$1$ポイントのままで終了する．もし$5$回投げても事象$A$が一度も起こらない場合には、あらかじめ定めた$m$ポイントが減点されて終了する．ただし，$a$と$m$は自然数で，$a\geqq m$とする．

　このゲームが終了した時点での$\mathrm{D}$さんのもつポイント数を確率変数$X$とする．

(1)　$X=a+1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{243}}$である．

(2)　ちょうど$4$回目でゲームが終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$であり，終了する時点が$4$回目または$5$回目となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

(3)　$3$回目までに一度も事象$A$が起こらない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$である．

　また，$3$回目までに一度も事象$A$が起こらないとき，$X>a$となる条件付確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

(4)　確率変数$X$の平均（期待値）は

$E(X)=a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタチ}}-\boxed{\text{ツテ}}m}{243}}$

で，$E(X)>a$となるような最大の自然数$m$は$\boxed{\text{トナ}}$である．

【６】　ある銀行では毎期末に預金残高に対し$5\%$の利率で利息がつく．この銀行に，たとえば$a$万円を一期間預金すると，期末には $1.05\times a$万円の預金残高になることになる．

　第$1$期の初めに，$\mathrm{A}$さんはこの銀行に$b$万円の預金を持っている．$\mathrm{A}$さんは，まず$b$万円から第$1$期分$m$万円を引き出す．残りの預金に対し第$1$期末に$5\%$の利息がつく．ここで，$b>m$とする．第$2$期目からも毎期初めにこの預金から$m$万円ずつを引き出す予定である．ただし，預金残高が$m$万円に満たないときは，その全額を引き出すものとする．

　以下の問題中，$\mathtt{\text{INT(X)}}$は$\mathtt{\text{X}}$を超えない最大の整数を表す関数である．

(1)　預金残高が$0$円になるのに何期間を要するかを調べるため，次の〔プログラム１〕を作った．このプログラムでは，自然数$b$と$m$を与えるとき，第$n$期初めに預金を引き出した直後に預金残高が$0$円になれば，そのときの自然数$n$を出力する．

〔プログラム１〕

• 100 INPUT "B=";B
• 110 INPUT "M=";M
• 120 N=0
• 130 N=N+1
• 140 B=1.05*(B-M)
• 150 IF B>0 THEN GOTO $\boxed{\text{アイウ}}$
• 160 PRINT N
• 170 END

　このプログラムの空欄$\boxed{\text{アイウ}}$をうめて，プログラムを完成せよ．

(2)　このプログラムの 160 行を変更して，最終期の引き出し金額の$1$万円未満を切り捨てたものも出力するようにするには，160 行を$\boxed{\text{エ}}$と変更すればよい．ただし，この金額の単位は万円とする．また，$\boxed{\text{エ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$から一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$PRINT N,INT(B)
• $\overline{)\text{1}}$PRINT N,INT(B+M)
• $\overline{)\text{2}}$PRINT N,INT(B−M)
• $\overline{)\text{3}}$PRINT N,INT(1.05*B)
• $\overline{)\text{4}}$PRINT N,INT(B/1.05+M)
• $\overline{)\text{5}}$PRINT N,INT(B/1.05−M)

(3)　第$1$期初めの預金額を$2150$万円，引き出し額を$100$万円とすると第$1$期末の預金残高は，約$2152$万円となり，第$1$期初めの$2150$万円より増える．

　一般に，毎期の始めに$m$万円引き出すものとし，第$n$期末の預金残高を$c_n$万円とする．このとき，$c_{n+1}=1.05(c_n-m)$であるので

$c_{n+1}-c_n=1.05(c_n-c_{n-1})\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$

が成り立つ．ただし，$c_0=2150$とする．

　よって$c_1-c_0\geqq 0$ならば，預金残高は減少しないことがわかる．ここで，$c_1$は$m$と$c_0$によって決まり，$c_1-c_0\geqq 0$を満たす最大の自然数$m$は$\boxed{\text{オカキ}}$である．

(4)　次に，$\mathrm{A}$さんの預金残高が$n$期間にわたり$0$円にならないために必要な第$1$期初めの預金額$b$万円を計算するため，次の〔プログラム２〕を作った．このプログラムでは，自然数$n$と$m$を与えるとき，預金残高が$n$期間にわたり$0$円にならないために必要な第$1$期初めの預金額$b$万円を計算する．ただし，$n\geqq 2$とする．

〔プログラム２〕

• 100 INPUT "N=";N
• 110 INPUT "M=";M
• 120 I=N
• 130 B=M
• 140 B=B/1.05+M
• 150 I=I−1
• 160 IF I>1 THEN GOTO $\boxed{\text{クケコ}}$
• 170 PRINT $\boxed{\text{サ}}$
• 180 END

　このプログラムの空欄$\boxed{\text{クケコ}}$と$\boxed{\text{サ}}$をうめて，このプログラムを完成せよ．ただし，$\boxed{\text{サ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$から一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$INT(B)
• $\overline{)\text{1}}$INT(B/1.05)
• $\overline{)\text{2}}$INT(B/1.05+1)
• $\overline{)\text{3}}$INT(B+1)
• $\overline{)\text{4}}$INT((B+1)/1.05)

　このプログラムを実行して N=? に対し$3$，M=? に対し$90$を入力したとき，170 行において$\boxed{\text{シスセ}}$と出力される．このとき，140 行は$\boxed{\text{ソ}}$回実行される．