2005　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$a\text{，}b$を定数とし，$2$次関数

$y=3x^2-ax-a-b$

のグラフを$C$とする．グラフ$C$は直線$x={\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ア}}}}$を軸とする放物線であり，グラフ$C$と$x$軸とが異なる二つの共有点をもつのは，

$b>-{\displaystyle \frac{a^2+\boxed{\text{イウ}}a}{\boxed{\text{エオ}}}}$

のときである．

　以下，グラフ$C$と$x$軸とが異なる二つの共有点をもち，その一つの$x$座標が$1$であるとする．このとき，$a$を用いて$b$を表すと

$b=\boxed{\text{カキ}}a+\boxed{\text{ク}}$

である．また，もう一方の共有点の$x$座標は${\displaystyle \frac{a-\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，これが区間$\mathrm{-1}\leqq x\leqq 0$に含まれる$a$の値の範囲は，

$\boxed{\text{サ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{シ}}$

である．$a$がこの範囲にあるとき，グラフ$C$の頂点の$y$座標の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【１】

［２］　$1$から$4$までの番号がつけられた赤玉$4$個が袋$\mathrm{A}$に入っている．同様に，$1$から$4$までの番号がつけられた青玉$4$個が袋$\mathrm{B}$に入っている．袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のそれぞれから$2$個ずつ玉を取り出す．

(1)　袋$\mathrm{A}$から取り出した$2$個の赤玉の番号が$1$と$2$であり，かつ，袋$\mathrm{B}$から取り出した$2$個の青玉の番号も$1$と$2$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．

(2)　袋$\mathrm{A}$から取り出した$2$個の赤玉の番号と袋$\mathrm{B}$から取り出した$2$個の青玉の番号のうち，共通の番号が少なくとも一つある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(3)　袋$\mathrm{A}$から取り出した$2$個の赤玉の番号の和を$a\text{，}$袋$\mathrm{B}$から取り出した$2$個の青玉の番号の和を$b$とする．

(ⅰ)　$a=b=5$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$であり，$a=b$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

(ⅱ)　$X$を

• $a=b\text{のとき}X=a$
• $a\ne b\text{のとき}X=0$

と定めると，$X$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=6\sqrt{3}\text{，}$$\cos A=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$であるとする．このとき，

$\mathrm{BC}=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}$$\sin B={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

　さらに，点$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$上にあり，$\cos \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$であるとする．このとき，

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{AD}+\frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}\mathrm{BD}}$

であり，また，正弦定理により

$\mathrm{AD}=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\mathrm{BD}$

となる．

　したがって，

$\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

であり，

$▵\mathrm{ABD}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

となる．また，

$▵\mathrm{ACD}$の面積は$\boxed{\text{シス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

である．

【３】　何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える．ただし，各部屋は十分大きく，定員については考慮しなくてよい．

(1)　$7$人を二つの部屋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に分ける．

(ⅰ)　部屋$\mathrm{A}$に$3$人，部屋$\mathrm{B}$に$4$人となるような分け方は全部で$\boxed{\text{アイ}}$通りある．

(ⅱ)　どの部屋も$1$人以上になる分け方は全部で$\boxed{\text{ウエオ}}$通りある．そのうち，部屋$\mathrm{A}$の人数が奇数である分け方は全部で$\boxed{\text{カキ}}$通りある．

(2)　$4$人を三つの部屋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に分ける．どの部屋も$1$人以上になる分け方は全部で$\boxed{\text{クケ}}$通りある．

(3)　大人$4$人，子ども$3$人の計$7$人を三つの部屋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に分ける．

(ⅰ)　どの部屋も大人が$1$人以上になる分け方は全部で$\boxed{\text{コサシ}}$通りある．そのうち，三つの部屋に子ども$3$人が$1$人ずつ入る分け方は全部で$\boxed{\text{スセソ}}$通りである．

(ⅱ)　どの部屋も大人が$1$人以上で，かつ，各部屋とも$2$人以上になる分け方は全部で$\boxed{\text{タチツ}}$通りである．

【２】

［１］

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とし，$x$の整式

$A=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{，}$$B=x^3-x^2+x-1$

を考える．$A$を$B$で割った商$Q$と余り$R$が

$Q=x+2a\text{，}$$R=x^2+(2c-3)x-d-6$

となるとき，

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$d=\boxed{\text{エオ}}$

である．このとき，不等式$R<0$を満たす実数$x$の値の範囲は

$\boxed{\text{カキ}}<x<\boxed{\text{ク}}$

である．

【２】

［１］

(2)　整数$m\text{，}n$についての条件$p\text{，}$$q$を次のように与える．

• $p:\left|m\right|+\left|n\right|\leqq 2$
• $q:\left|m\right|\leqq 2\text{かつ}\left|n\right|\leqq 2$

(ⅰ)　条件$\text{「}\bar{p}\text{かつ}q\text{」}$を満たす整数の組$(m,n)$は$\boxed{\text{ケコ}}$個ある．ただし，$\bar{p}$は$p$の否定を表す．

(ⅱ)　次の文の$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$p\text{は}q\text{であるための}\boxed{\text{サ}}$ ．

• $\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である
• $\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが十分条件ではない
• $\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが必要条件ではない
• $\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【２】

［２］　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=6\sqrt{3}\text{，}$$\cos A=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$であるとする．このとき，

$\mathrm{BC}=\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}\text{，}$$\sin B={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

　さらに，点$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$上にあり，$\cos \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$であるとする．

　このとき，

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{AD}+\frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}\mathrm{BD}}$

であり，また，正弦定理により

$\mathrm{AD}=\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}\mathrm{BD}$

となる，したがって，

$\mathrm{AD}=\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$

である．

【３】(1)　$c$を$0$でない定数とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=3a_n-c$$(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$

によって定める．$d={\displaystyle \frac{c}{\boxed{\text{ア}}}}$とすると，

$a_{n+1}-d=3(a_n-d)$$(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$

が成り立つ．したがって，${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{a}_k$を$c$を使って表すと

${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{a}_k=\boxed{\text{イウエオ}}-\boxed{\text{カキクケ}}c$

である．

(2)　数列$\{b_n\}$を

$b_1=3\text{，}$$b_{n+1}=b_n+(2n+3)$$(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$

によって定める．この数列の一般項を

$b_n=n^2+pn+q$

とすると$p=\boxed{\text{コ}}\text{，}q=\boxed{\text{サ}}$である．したがって，$b_n<10000$となる最大の自然数$n$は$\boxed{\text{シス}}$である．

　また，

${\displaystyle \frac{1}{b_1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}})\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{b_2}}=\frac{1}{2}({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{セ}}}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})\text{，}\cdots \text{，}$${\displaystyle \frac{1}{b_8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ソ}}}}-{\displaystyle \frac{1}{10}})$

となるので

${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{\displaystyle \frac{1}{b_k}=\frac{\boxed{\text{タチ}}}{45}}$

である．

【４】　平面上に$2$点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{O}}^{\prime }$を中心とする二つの円があり，円$O$の半径は$12\text{，}$円$O^{\prime }$の半径は$5$である．二つの円は$2$点で交わり，その交点の一つを$\mathrm{A}$とするとき$\angle \mathrm{OA}{\mathrm{O}}^{\prime }=90°$である．直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$と円$O$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$円${\mathrm{O}}^{\prime }$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$上にある．直線$\mathrm{SA}$が円$O$と交わる$\mathrm{A}$以外の点を$\mathrm{B}\text{，}$二つの線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{C}$とする．

　下の$\boxed{\text{カ}}$と$\boxed{\text{キ}}$については，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから最も適当なものを一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}\mathrm{ABO}$
• $\overline{)\text{1}}\mathrm{AO}{\mathrm{O}}^{\prime }$
• $\overline{)\text{2}}\mathrm{APO}$
• $\overline{)\text{3}}\mathrm{BPR}$
• $\overline{)\text{4}}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}$
• $\overline{)\text{5}}\mathrm{PAB}$
• $\overline{)\text{6}}\mathrm{P}{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}$
• $\overline{)\text{7}}\mathrm{SA}{\mathrm{O}}^{\prime }$
• $\overline{)\text{8}}\mathrm{SAO}$
• $\overline{)\text{9}}\mathrm{SAP}$

　点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$に引いた垂線と$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$▵\mathrm{OHA}$と$▵\mathrm{OA}{\mathrm{O}}^{\prime }$は相似な直角三角形であるから

$\mathrm{HO}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$

である．また，

$\angle \mathrm{BOS}=180°-\angle \boxed{\text{カ}}-\angle {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{SA}$$=180°-\angle \mathrm{OAB}-\angle \boxed{\text{キ}}=\angle \mathrm{OA}{\mathrm{O}}^{\prime }$

であるから，$\angle \mathrm{BOS}$は直角である．したがって，$▵\mathrm{SBO}$と$▵\mathrm{SAH}$は相似であり

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{SB}}=\frac{\mathrm{HO}}{\mathrm{SO}}=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$

である．

　点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BR}$に平行な直線と線分$\mathrm{RS}$との交点を$\mathrm{T}$とおく．$▵\mathrm{SBR}$と$▵\mathrm{SAT}$は相似であるから

$\mathrm{RT}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$

である．また，$▵\mathrm{APT}$と$▵\mathrm{CPR}$も相似であるから，

${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CP}}=\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$

である．

【５】　次のプログラムを考える．ただし，N ，P には自然数を入力するものとする．また，INT(X) は X を超えない最大整数を与える関数である．

• 100 INPUT "N="; N
• 110 INPUT "P="; P
• 120 A=0
• 130 X=INT(N/P)
• 140 Y=N-P*X
• 150 PRINT Y;
• 160 A=A+1
• 170 N=X
• 180 IF N>0 THEN GOTO 130
• 190 PRINT ";"
• 200 PRINT A
• 210 END

(1)　上のプログラムを実行し，N=? に$2006$，P=? に$10$を入力すると，

• $\boxed{\text{ア}}$
• $\boxed{\text{イ}}$
• $\boxed{\text{ウ}}$
• $\boxed{\text{エ}}$
• ;
• $\boxed{\text{オ}}$

と表示される．

(2)　上のプログラムを実行し，N=? に$2$桁の数$\boxed{\text{カキ}}$，P=? に$4$を入力すると，

• 　 3
• $\boxed{\text{ク}}$
• 　 2
• 　 1
• ;
• $\boxed{\text{ケ}}$

と表示される．

(3)　上のプログラムの 180 行を

180 IF Y=0 THEN GOTO 130

と書き直す．変更したこのプログラムを実行し，N=? に 120 ，P=? に$2$を入力すると，

$\boxed{\text{コ}}$

が最後に出力されてプログラムが終了する．