2005　大学入試センター試験　追試験　数学II／数学IIBMathJax

【１】

［１］　$A\text{，}$$B$は$0<A<B$を満たす定数とする．$0°\leqq \theta <180°$の範囲で関数

$f(\theta )=A{\sin }^2\theta +(A+B)\sin \theta \cos \theta +B{\sin }^2\theta \cdots \text{①}$

の最大値が$10+2\sqrt{29}$，最小値が$10-2\sqrt{29}$であるとする．

(1)　$A=b-a\text{，}$$B=b+a$とおいて$\text{①}$の右辺を変形すると

$f(\theta )=\boxed{\text{ア}}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )+\boxed{\text{イウ}}\sin \theta \cos \theta +\boxed{\text{エ}}$

$\phantom{f(\theta )}=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\boxed{\text{オ}}\theta +\alpha )+\boxed{\text{エ}}$

となる．ただし， $\alpha$ は

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

を満たす角で $0°<\alpha <90°$とする．

(2)　$f(\theta )$が最大となるのは

$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}°-\alpha }{\boxed{\text{コ}}}}$

のときで，最小となるのは

$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシス}}°-\alpha }{\boxed{\text{コ}}}}$

のときである．また，$f(\theta )$の最大値，最小値の条件を用いると

$A=\boxed{\text{セ}}\text{，}B=\boxed{\text{ソタ}}$

であることがわかる．

【１】

［２］　不等式

${\log }_{2}27-{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$$+3{\log }_5\{27(x-1)\}<0$$\cdots \text{②}$

を満たす$x$の値の範囲を求めよう．

　$d={\log }_{10}2$とおくと

${\log }_{2}27={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{\log }_{10}3\text{，}$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{テ}}}}{\log }_{10}(x-1)\text{，}$

${\log }_5\{27(x-1)\}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}{\log }_{10}3+{\log }_{10}(x-1)}{\boxed{\text{ナ}}-\boxed{\text{ニ}}}}$

であるから，$\text{②}$を解くことは不等式

$\boxed{\text{ヌ}}{\log }_{10}3+{\log }_{10}(x-1)<0$

を解くことと同じである．これにより，求める$x$の値の範囲は

$\boxed{\text{ネ}}<x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハ}}}{\boxed{\text{ヒフ}}}}$

である．

【２】　定数$a\text{，}$$b$に対して，$f(x)=2x^3-a{x}^2+bx$とおく．関数$f(x)$は条件

(★)　$0<x<1$ の範囲で極大値と極小値をもつ

を満たすとする．

(1)　このとき，定数$a\text{，}b$が満たす条件を求めよう．

●導関数 $f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}{x}^2-\boxed{\text{イウ}}x+\boxed{\text{エ}}$について，方程式$f^{\prime }(x)=0$は$0<x<1$の範囲に二つの異なる解をもつ．したがって，$x$が変数全体を動くときの導関数$f^{\prime }(x)$の最小値$\boxed{\text{オ}}-{\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{カ}}}}$は負である．

●$f^{\prime }(x)$が最小値をとる$x$の値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$は$0$と$1$の間にある．

●$f^{\prime }(0)$と$f^{\prime }(1)$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$から一つ選べ．

　以上から，関数$f(x)$が条件(★)を満たすような点$(a,b)$全体を座標平面上に図示すると，下の図$\boxed{\text{コ}}$の影をつけた部分となり，その部分の面積は$\boxed{\text{サ}}$である．ただし，$\boxed{\text{コ}}$については，当てはまるものを，下の図$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$から一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$	$\overline{)\text{1}}$	$\overline{)\text{2}}$
$\overline{)\text{3}}$	$\overline{)\text{4}}$	$\overline{)\text{5}}$

(2)　関数$f(x)$が条件(★)を満たすような$a\text{，}$$b$で，ともに整数となるのは$a=\boxed{\text{シ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ス}}$のみである．このとき，関数$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{セ}}}-\frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$で極大となる．

$f(x)={\displaystyle (\frac{1}{\boxed{\text{チ}}}x-\frac{1}{6})f^{\prime }(x)-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}}$

と変形できるので，$f(x)$の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，方程式$x^2+y^2=4$で表される円を$C$とする．点$\mathrm{A}(6,0)$を通り，円$C$に接する傾きが負の直線を$l$とし，その接点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　直線$l$の方程式は

$x+\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}y-\boxed{\text{ウ}}=0$

であり，$\mathrm{P}$の座標は

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}},\frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}})}$

である．

(2)　$x$軸の正の部分に中心${\mathrm{O}}_1$をもち，$l$に接し，かつ$C$に外接する円を$C_1$とする．また，線分${\mathrm{PO}}_1$と$C_1$の交点を$\mathrm{B}$とする．$C_1$の方程式は

${(x-\boxed{\text{ケ}})}^2+y^2=\boxed{\text{コ}}$

であり，$\mathrm{B}$の座標は

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}},\frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}})}$

である．

(3)　三角形${\mathrm{OO}}_1\mathrm{B}$の外接円は原点を通る円であり，その方程式は

$x^2+y^2-\boxed{\text{チ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}y=0$

である．

【４】　点$(0,a)$を$\mathrm{P}$とし，放物線$y=x^2$を$C$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}(t,t^2)$をとる．

(1)　$a=15$とし，$t$は$0<t<\sqrt{15}$の範囲を動くとする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}(0,t^2)$を頂点とする三角形の面積の最大値を求めよう．三角形$\mathrm{PQR}$の面積$f(t)$は

$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(-t^{\boxed{\text{ア}}}+\boxed{\text{イウ}}t)$

である．関数$f(t)$の導関数は

$f^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{2}}(-t^{\boxed{\text{オ}}}+\boxed{\text{カ}})$

であるから，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$t=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$のとき最大値$\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$をとる．

(2)　点$\mathrm{P}(0,a)$を固定し，点$\mathrm{Q}(t,t^2)$が放物線$C$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗${\mathrm{PQ}}^2$の最小値$g(a)$を求めよう．$T=t^2$とおくと

${\mathrm{PQ}}^2=T^2+(\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サシ}})T+{\boxed{\text{ス}}}^{\boxed{\text{セ}}}$

と表される．よって，この最小値$g(a)$は

${\displaystyle a\geqq \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}\text{のとき}\boxed{\text{チ}}-\frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}$

$a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{のとき}{\boxed{\text{ト}}}^{\boxed{\text{ナ}}}$

である．$g(a)$を$a$の関数とみると

${\displaystyle {\int }_0^1}g(a)da={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$

である．

【３】　一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．$0<a<1$として，線分$\mathrm{AD}$を$(1-a):a$に内分する点を$\mathrm{O}$，線分$\mathrm{CE}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{y}$とおく．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}$は

$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

を満たす．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\boxed{\text{エオ}}-\boxed{\text{カ}})$$\overrightarrow{x}+(\boxed{\text{キ}}-\boxed{\text{ク}})\overrightarrow{y}$

と表される．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさの$2$乗は

${|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}^2=\boxed{\text{ケ}}(a^{\boxed{\text{コ}}}-\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}})$

である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$で表せば

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}+\boxed{\text{ツ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

である．（$\boxed{\text{チ}}$と$\boxed{\text{ツ}}$は解答の順序を問わない．）

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき

${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}{a}^2}{\boxed{\text{ト}}(a^{\boxed{\text{コ}}}-\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}})}}$

である．$\theta =45°$のとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{ナニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$である．

【４】　複素数$z=a(\cos \alpha +i\sin \alpha )\text{，}$$w=b(\cos \beta +i\sin \beta )$は

$zw=4i\text{，}$$\arg {\displaystyle \frac{z}{w}}=60°$

を満たしているとする．ただし，$a\text{，}$$b$は正の実数，$\alpha \text{，}$$\beta$は$0°$以上$180°$以下の角とし，$\arg {\displaystyle \frac{z}{w}}$は${\displaystyle \frac{z}{w}}$の偏角を表す．

(1)　このとき

$ab=\boxed{\text{ア}}\text{，}\alpha +\beta =\boxed{\text{イウ}}°\text{，}\alpha -\beta =\boxed{\text{エオ}}°$

である．したがって

$\alpha =\boxed{\text{カキ}}°\text{，}$$\beta =\boxed{\text{クケ}}°$

である．

(2)　$0°<\theta <180°$を満たす$\theta$に対して

$z^{\prime }=z(\cos \theta +i\sin \theta )\text{，}$$w^{\prime }=w(\cos \theta +i\sin \theta )$

とおく．積$z^{\prime }{w}^{\prime }$と和$z^{\prime }+w^{\prime }$がともに実数になるような$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$の値を求めよう．

　まず，積$z^{\prime }{w}^{\prime }$が実数となるのは，$\theta =\boxed{\text{コサ}}°$または$\theta =\boxed{\text{シスセ}}°$のときである．

　$\theta =\boxed{\text{コサ<mspace width=".5em"></mspace>}}°$のとき，和$z^{\prime }+w^{\prime }$の虚部は

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(\boxed{\text{ソ}}+\boxed{\text{タ}})$

である．（$\boxed{\text{ソ}}$と$\boxed{\text{タ}}$は解答の順序を問わない．）したがって，この場合$z^{\prime }+w^{\prime }$は実数にはならない．

　また，$\theta =\boxed{\text{シスセ<mspace width=".5em"></mspace>}}$のとき，$z^{\prime }+w^{\prime }$の虚部は

${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}})$

である．

　したがって，和$z^{\prime }+w^{\prime }$も実数となるような$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$の値は，それぞれ$a=\boxed{\text{テ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\theta =\boxed{\text{シスセ<mspace width=".5em"></mspace>}}$である．そのとき$z^{\prime }\text{，}$$w^{\prime }$は$2$次方程式$\boxed{\text{ナ}}$の解になる．ただし，$\boxed{\text{ナ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$から一つ選べ．

【５】　$a$を自然数とする．条件

$|m|\leqq 1\text{，}$$0\leqq n\leqq 2a+1$

を満たす整数$m\text{，}$$n$を，それぞれ$x$座標，$y$座標とする座標平面上の点の集合を$S$とする．集合$S$から$1$点を選ぶ試行を独立に$3$回繰り返し，選んだ点を順に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．

(1)　集合$S$の要素の個数は，$\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}}$である．したがって，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を選ぶ場合の数は${(\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}})}^{\boxed{\text{ウ}}}$である．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がすべて異なる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}{a}^2+\boxed{\text{カキ}}a+\boxed{\text{クケ}}}{18{(a+1)}^{\boxed{\text{コ}}}}}$

である．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がすべて異なり，傾きが正の同一直線上にあるとする．このとき，その傾き$b$は自然数となり，その範囲は

$\boxed{\text{サ}}\leqq b\leqq \boxed{\text{シ}}\cdots \text{①}$

である．

　$b$は不等式$\text{①}$を満たす自然数とする．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がすべて異なり，かつそれらが傾き$b$の同一直線上にあるような点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の選び方の総数を求めよう．たとえば，点$\mathrm{A}$を$(\mathrm{-1},2(\boxed{\text{ス}}-\boxed{\text{セ}})+1)$，点$\mathrm{B}$を$(1,2a+1)$，点$\mathrm{C}$を$(0,2a-b+1)$とする選び方はその例である．求める場合は，全部で

$\boxed{\text{ソタ}}(\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}}+1)$

通りある．

(3)　確率変数$Y$を次のように定める．

●　選んだ点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がすべて異なり，かつそれらが，傾きが正の同一直線上にあるとき，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$y$座標の最大値と最小値の差を$Y$の値とする．

●　それ以外のとき，$Y=0$とする．

　$b$は(2)の不等式$\text{①}$を満たす自然数とする．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がすべて異なり，かつそれらが傾き$b$の同一直線上にあるとき，$Y=\boxed{\text{チ}}b$である．

　以下，$a=2$とする．このとき，$Y$の平均（期待値）は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{3^{\boxed{\text{ナ}}}}}$

であり，$Y^2$の平均は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{3^{\boxed{\text{ヌ}}}}}$

である．したがって，$Y$の分散は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノハヒ}}}{3^{10}}}$

である．

【６】　自然数$X$の正の平方根の整数部分を求めるために，以下の考察をおこなった後，プログラムを作成する．

(1)　自然数$X$が

$A\leqq \sqrt{X}<A+2B$

を満たしているとする．ただし，$A$と$2\mathrm{B}$は自然数とする．このとき

$\begin{array}{ll}A\leqq \sqrt{X}<A+B& \cdots \text{①}\\ A+B\leqq \sqrt{X}<A+2B& \cdots \text{②}\end{array}$

のどちらか一方が成り立つ．不等式$\text{①}$は$a=A\text{，}$$b={\displaystyle \frac{B}{2}}$とおくと$\boxed{\text{ア}}\leqq \sqrt{X}<\boxed{\text{イ}}$となる．不等式$\text{②}$は，$a=A+B\text{，}$$b={\displaystyle \frac{B}{2}}$とおくと$\boxed{\text{ウ}}\leqq \sqrt{X}<\boxed{\text{エ}}$となる．特に，$b={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a$の解が$\sqrt{X}$の整数部分となっている．$\boxed{\text{ア}}\text{〜}$$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，それぞれ次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$から一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}a$
• $\overline{)\text{1}}a+b$
• $\overline{)\text{2}}a-b$
• $\overline{)\text{3}}a+2b$
• $\overline{)\text{4}}a-2b$

(2)　$X<2^{2n+2}$を満たす最小の整数$n$に対して$A=2^n\text{，}$$B=2^{n-1}$とおくと，$A^2\leqq X<{(A+2B)}^2$が成立している．つまり

$A\leqq \sqrt{X}<A+2B$

である．そこで(1)での考察を用いてプログラムを作成する．

〔プログラム〕

• 100 INPUT "X=" ; X
• 110 A=1
• 120 IF A*A $\boxed{\text{オ}}$ X THEN GOTO 150
• 130 A=2*A
• 140 GOTO 120
• 150 A=A/2
• 160 B=A/2
• 170 IF B<1 THEN GOTO $\boxed{\text{カキク}}$
• 180 IF (A+B)*(A+B) $\boxed{\text{ケ}}$ X THEN A=A+B
• 190 B=B/2
• 200 GOTO $\boxed{\text{コサシ}}$
• 210 PRINT A
• 220 END

　このプログラムの$4$か所の空欄をうめて，プログラムを完成せよ．ただし，$\boxed{\text{オ}}$と$\boxed{\text{ケ}}$については，当てはまるものを，それぞれ次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$から一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$>=
• $\overline{)\text{1}}$>
• $\overline{)\text{2}}$=
• $\overline{)\text{3}}$<=
• $\overline{)\text{4}}$<

(3)　このプログラムを実行し，変数 X に$5$を入力する．160 行を終了したとき，変数 A の値は$\boxed{\text{ス}}$，変数 B の値は$\boxed{\text{セ}}$であり，プログラム終了時における 210 行の出力は$\boxed{\text{ソ}}$である．また，変数 X に$1024$を入力すると，140 行は$\boxed{\text{タ}}$回，200 行は$\boxed{\text{チ}}$回実行される．

(4)　このプログラムの 120 行と 180 行をそれぞれ

• 120 IF A*A*A $\boxed{\text{オ}}$ X THEN GOTO 150
• 180 IF (A+B)*(A+B)*(A+B) $\boxed{\text{ケ}}$ X THEN A=A+B

と変更すると，X の$\boxed{\text{ツ}}$乗根の整数部分を求めるプログラムになる．