2005 旭川医科大学 後期

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2005 旭川医科大学 後期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 三角形 ABC の各辺 AB BC CA 上に点 P Q R

AP AB+ BQBC+ CRCA =t 0<t <3

を満たすようにとる.三角形 ABC の面積を S とするとき,次の問いに答えよ.

問1  AP AB= x CRCA =z とおくとき,三角形 APR の面積は, x( 1z )S で表されることを示せ.

問2 三角形 PQR の面積の最大値を M (t ) とする. M( t) を求めよ.

問3  M(t ) の最小値を求めよ.また,そのときの点 P Q R は各辺 AB BC CA 上のどのような点であるか.

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【2】  f(x )=2sin (1 2x ) π <x< π の逆関数を g (x) −2<x <2 とするとき,次の問いに答えよ.

問1  g (x)= 2 4 x2 であることを示せ.

問2  h(x )=g (x) g(0 )g ( 0)x 12 g (0) x2 16 g (0) x3 −2 <x<2 は増加関数であることを示せ.

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【3】 曲線 y= x 2 x x 軸および直線 x =n とで囲まれた領域(境界線上の点も含む)を D n n= 1 2 3 とおくとき,次の問いに答えよ.

問1  Dn の面積 A n を求めよ.

問2  Dn に含まれる格子点の個数 B n を求めよ.ここで格子点とは, x 座標と y 座標がともに整数である点を意味する.

問3  limn Bn An を求めよ.

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【4】  a b c を複素数とする 3 次方程式 z 3+a z2 +b z+c= 0 3 つの解が,複素数平面上でちょうど正三角形 K 3 つの頂点になっているとする. K の重心を m とするとき,次の問いに答えよ.

問1  a b m で表せ.

問2  K 2 つの頂点がちょうど実軸上にあるとき, c m で表せ.

問3  K の外接円の半径を r とする. | a| <2 |c |> 2 のとき, r>1 であることを示せ.

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