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2005 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 英語の本と日本語の本が全部で 10 冊ある.その中から 3 冊取り出すとき,英語の本が 2 冊と日本語の本が 1 冊である確率が, 7 40 となる.このとき,日本語の本は何冊あるか答えよ.

2005 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2) 各組が 12 枚ずつからなる赤,青,黄色の 3 組のカードがあり,各組ごとに 1 から 12 までの異なる数がひとつずつカードに書かれている.それぞれの色のカードの組から 1 枚ずつ取り出すとき,数の合計が 15 となる取り出し方は何通りあるか答えよ.

2005 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【2】  θ 0° <θ< 180° とする. 2 つの数列 {xn } {yn }

x1= cosθ y1= sinθ

xn+ 1= 1+ xn2 yn +1= y n2 xn+ 1 n= 1 2 3

によって定める.次の問いに答えよ.

(1)  x2 y2 を計算せよ.さらに,一般項 xn yn を求めよ.

(2)  n7 ならば, ( xn+ yn i) 4n =i とはならないことを示せ.ただし, i=-1 は虚数単位とする.

(3)  θ 90° <θ< 180° の範囲にあるとき, ( xn+ yn i) 4n =i となる n θ を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x)= x3- ax2 +b の極大値が 5 極小値が 1 となるとき,定数 a b の値を求めよ.

2005 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【4】  2 つの単位ベクトル a b のなす角を θ とする.次の問いに答えよ.

(1)  2 次関数 f (x)= |x a +b | 2 x 0 における最小値を求めよ.

(2)  θ 0° θ 180° の範囲を動くとき,放物線 y= f(x ) の頂点が描く軌跡を求めよ.

(3) (2)で求めた軌跡と x 軸が囲む図形の面積を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1)  a を正の実数とする. x0 のとき, y= ax- 1a- x がとりうる値の範囲を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2) 実数 x y z について

(x+ y+z) 23 (x 2+y 2+z 2)

を示し,等号がいつ成り立つかを答えよ.これを用いて,命題

x2 +y2 +z2 a ならば x+ y+z a である」

が真となる最小の正の実数 a を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【2】  a b を正の実数とし, 2 つの数列 {an } {bn }

a1= a b1= b

an+ 1= 2 an bn +an 2 an2 +5 an bn bn+ 1= 3 an bn an 2+5 an bn n =1 2 3

によって定める.次の問いに答えよ.

(1)  cn= a nbn n =1 2 3 とおく.数列 {cn } の一般項を求めよ.

(2)  limn an limn bn を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【3】  O を原点とする座標平面において,点 A の座標を (2, 0) とする.線分 OA を直径とする円周上の点 T における接線に O から下ろした垂線を OP とする. T が円周上を動くとき, P が描く曲線の長さを求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【4】  O を原点とする複素数平面上で,複素数 z を表す点 X O を中心とする半径 1 の円周上を動くものとする. z の偏角を θ と表す. w=z 2+ 1z とおき, w を表す点を Y とする.次の問いに答えよ.ただし, θ -π 以上 π 未満とする.

(1)  w=0 となる θ をすべて求めよ.

(2)  w=⃥ 0 のとき, w の偏角 β θ で表せ.ただし, β -π 以上 π 未満とする.

(3) 三角形 OXY の面積が 32 となる θ の個数を求めよ.

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