2006　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$a\text{，}$$b$は自然数とし，$2$次関数

$y=x^2+ax+b\cdots \text{①}$

のグラフを考える．

(1)　$b=1$のとき，$\text{①}$のグラフが$x$軸と接するのは$a=\boxed{\text{ア}}$のときである．

(2)　$b=2$のとき，$\text{①}$のグラフが$x$軸と共有点をもたないのは$a=\boxed{\text{イ}}$と$a=\boxed{\text{ウ}}$のときである．ただし，$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．

(3)　$b=3$のとき，$\text{①}$のグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わるような自然数$a$の中で，$a<9$を満たす$a$の個数は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

［２］(1)　方程式${(2x-5)}^2={(x-7)}^2$の解は$\boxed{\text{オ}}$と$\boxed{\text{カキ}}$である．

(2)　不等式$-\sqrt{10}<x-{\displaystyle \frac{5}{2}}<\sqrt{10}$を満たす整数$x$の個数は$\boxed{\text{ク}}$である．

(3)　$n$が自然数で，不等式$-n<x-{\displaystyle \frac{5}{2}}<n$を満たす整数$x$の個数が$16$であるとき，$n=\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　$a\ne 0$とする．$2$次関数

$y=a{x}^2+bx+c$

のグラフを$G_1$とし，

$y=-a{x}^2+bx+d$

のグラフを$G_2$とする．

　以下，$G_1$は点$(2,1)$を通り，$G_2$は点$(\mathrm{-3},1)$を通るものとする．このとき，

• $c=\boxed{\text{アイ}}a-\boxed{\text{ウ}}b+\boxed{\text{エ}}$
• $d=\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}}b+\boxed{\text{キ}}$

である．

　さらに，$G_1$の頂点と$G_2$の頂点が原点に関して対称であるとき，

$b=\boxed{\text{クケ}}a-\boxed{\text{コ}}$

が成り立つ．ここで，$G_1$の頂点を点$(p,q)$とすると，

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}+\frac{1}{a}}\text{，}$$q={\displaystyle -\frac{a}{\boxed{\text{ス}}}-\frac{1}{a}}$

であり，

$p+q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}-\frac{a}{\boxed{\text{ス}}}}$

となる．このとき，$G_1$の頂点が直線$y=-x+2$上にあるならば，$a=\boxed{\text{セ}}$であり，$G_2$を表す$2$次関数の最大値は$\boxed{\text{ソ}}$である．

【３】　$1$辺の長さが$13$の正三角形$\mathrm{ABC}$とその外接円を考える．

(1)　この外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　この外接円の点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{CA}$上に，点$\mathrm{D}$を弦$\mathrm{CD}$の長さが$7$になるようにとる．このとき$\angle \mathrm{ADB}=\boxed{\text{オカ}}°$であり，$\angle \mathrm{ADC}=\boxed{\text{キクケ}}°$である．したがって，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{コ}}$である．さらに，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\boxed{\text{サシ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$であり，$\sin \angle \mathrm{ACD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$となる．

(3)　(2)において，三角形$\mathrm{ADB}$と三角形$\mathrm{CDB}$の面積比は$\boxed{\text{ツ}}:7$である．したがって，三角形$\mathrm{ADB}$の面積は$\boxed{\text{テト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．このことから$\mathrm{BD}=\boxed{\text{ニヌ}}$となる．

【４】　$x$に関する二つの式

$A=(x-1)(x-a)\text{，}$$B=2x+b$

を考える．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．積$AB$を展開して整理したときの$x^2$の係数を$\mathrm{-9}$，定数項（$x$を含まない項）を$15$とする．このとき，

$ab=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$2a-b=\boxed{\text{ウ}}$

であり，積$AB$を展開して整理したときの$x$の係数は$\boxed{\text{エオ}}$である．

　また，$b=2a-\boxed{\text{ウ}}$であるから，$a$は

$a(2a-\boxed{\text{ウ}})=\boxed{\text{アイ}}$

を満たす．よって，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

　次に，$2$次不等式$(x-1)(x-\boxed{\text{カ}})<4$の解を$\alpha <x<\beta$とすると，

$\alpha =\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\text{，}$$\beta =\boxed{\text{コ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．このとき，

${(\alpha -2)}^3=\boxed{\text{スセ}}-\boxed{\text{ソタ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

であり

${\displaystyle \frac{\alpha +2\beta }{\alpha -2\beta }=\frac{\boxed{\text{ツ}}-\boxed{\text{テト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{21}}$

である．

【５】　袋の中に，$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$と番号がつけられた同じ大きさの$6$個の球が入っている．この袋から$3$個の球を同時に取り出して，出た数の組合せについて考える．

(1)　この組合せは全部で$\boxed{\text{アイ}}$通りある．このうち，連続する二つの数を含まない ような組合せは$\boxed{\text{ウ}}$通りある．

(2)　出た数の組合せにより，次のように得点を与えるゲームを考える．

出た数の中に$0$が含まれる場合の得点は$0$点とする

その他の場合は，出た数のうち最大のものを得点とする

(ⅰ)　得点が$0$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(ⅱ)　得点が $4$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$であり，$5$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

(ⅲ)　このゲームを$1$回行うときの得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$点である．

(ⅳ)　このゲームを$2$回続けて行う．ただし，$1$回目のゲームで取り出した球を袋に戻してから$2$回目を行う．このとき，$1$回目と$2$回目の得点が等しくなる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチツ}}}}$である．

【１】

［１］(1)　等式$|2x-3|=5$を満たす$x$の値は$\boxed{\text{アイ}}$と$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　不等式$|x-{\displaystyle \frac{3}{2}}|<\sqrt{6}$を満たす整数$x$の個数は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$n$が自然数で，不等式$|x-{\displaystyle \frac{3}{2}}|<n$を満たす整数$x$の個数が$6$であるとき$n=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

［２］　自然数全体の集合を$\mathrm{U}$とする．$\mathrm{U}$の要素に関する条件$p\text{，}$$q$について，$p$を満たす要素の集合を$\mathrm{P}$とし，$q$を満たす要素の集合を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{U}$を全体集合とする$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の補集合をそれぞれ$\bar{\mathrm{P}}\text{，}$$\bar{\mathrm{Q}}$とする．

　次の各文の空欄$\boxed{\text{カ}}$ 〜$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(1)　命題「$p⟹q$」が真であることと$\boxed{\text{カ}}$が成り立つことは同じである．

(2)　命題「$p⟹q$」の逆が真であることと$\boxed{\text{キ}}$が成り立つことは同じである．

(3)　命題「$\bar{p}⟹q$」が真であることと$\boxed{\text{ク}}$が成り立つことは同じであり，また，これ以外に$\boxed{\text{ケ}}$が成り立つこととも同じである．ただし，$\bar{p}$は$p$の否定を表す．また，$\boxed{\text{ク}}$と$\boxed{\text{ケ}}$の解答の順序は問わない．

(4)　すべての自然数が条件「$\bar{p}\text{または}q$」を満たすことと$\boxed{\text{コ}}$が成り立つことは同じである．

• $\overline{)\text{0}}\mathrm{P}\subset \mathrm{Q}$
• $\overline{)\text{1}}\mathrm{P}\supset \mathrm{Q}$
• $\overline{)\text{2}}\mathrm{P}\subset \bar{\mathrm{Q}}$
• $\overline{)\text{3}}\bar{\mathrm{P}}\subset \mathrm{Q}$
• $\overline{)\text{4}}\mathrm{P}\supset \bar{\mathrm{Q}}$
• $\overline{)\text{5}}\bar{\mathrm{P}}\supset \mathrm{Q}$

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$7$の正三角形とし，点$\mathrm{O}$を中心とする円$O$をその外接円とする．

　円$O$の点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{CA}$上に，点$\mathrm{D}$を弦$\mathrm{CD}$の長さが$3$になるようにとる．このとき，$\angle \mathrm{ADC}=\boxed{\text{アイウ}}°$であり，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{エ}}$となる．したがって，$\sin \angle \mathrm{ACD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

　次に，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とおく．このとき，$\angle \mathrm{BDC}=\boxed{\text{ケコ}}°$であり，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=\boxed{\text{サ}}:3$である．したがって，$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

　この結果を用いて線分$\mathrm{OE}$の長さを求めよう．直線$\mathrm{OE}$と円$O$との二つの交点を$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$とする．ただし，$\mathrm{E}$に近い方を$\mathrm{G}\text{，}$遠い方を$\mathrm{F}$とする．このとき，

$\mathrm{EF}\cdot \mathrm{EG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタチ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$

となる．よって，$\mathrm{OE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$である．