2006 旭川医科大学 後期

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2006 旭川医科大学 後期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  x y z は負の数で, x+y +z< −3 および x 2+ y2+ z2 +2 xy z=1 を満たすとき,次の問いに答えよ.

問1  (x+1 )(y +1) (z+1 )0 であることを示せ.

問2  x y z がすべて無理数である x y z の例を 1 組あげよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  2 つの行列 A =( 315 3 5 3 21 ) P=( cos θ sinθ sin θ cosθ ) に対して B =P−1 A P とするとき,次の問いに答えよ.

問1  B=( α 0 0β ) となるように θ ( 0θ π 2 ) の値を定め, α β の値を求めよ.

問2 問1で求めた θ を用いて,方程式 31 x2 +21 y2 +10 3 xy 1= 0 の表す曲線を原点の回りに角 θ だけ回転移動して得られる曲線の方程式を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  2 つの実数 a b のうち大きい方を max {a ,b} 小さい方を min {a, b} で表す.ただし, a=b のときは, max{ a,a} =min {a,a }=a とする.

  0<x< π 2 の範囲で,関数 f (x ) g (x)

とするとき,次の問いに答えよ.

問1  2 つの曲線 y =f( x) y =g( x) はそれぞれ直線 x=π 4 に関して対称であることを示せ.

問2  2 つの曲線 y =f( x) y =g( x) で囲まれた図形の面積を S とするとき, e x の値を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.

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【4】  2 以上の自然数 n に対し, fn (x )= xnn ! e x x 0 とおくとき,次の問いに答えよ.

問1  fn (x) の増減,グラフの凹凸を調べ, y = fn (x) のグラフの概形を描け.

問2  0 1 fn (x) dx n を用いて表せ.

問3  0x 1 f n (x) fn ( 1) であることと問2の結果とを用いて,無限級数 1+1 1! +12 !+ 13! +1 4!+ の和を求めよ.

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