2007　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］(1)　$2$次方程式$2x^2-2x-13=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$\alpha <\beta$とする．

(1)　このとき

• $\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{2}}$
• $\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{2}}$

である．また

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カキ}}}{13}}$

である．

(2)　不等式$\alpha <x<\beta$を満たす整数$x$の個数は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

［２］　方程式

$|3x-4|=\mathrm{-2}{(x-1)}^2+7$

の解は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}-\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}+\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とし，$a>0$とする．$x$の$2$次関数

$y=a{x}^2+bx+c$

のグラフを$G$とし，グラフ$G$は$x$軸より上側にあるものとする．

(1)　$x$軸上に$3$点

${\mathrm{P}}_1(2,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(4,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_3(6,0)$

をとり，グラフ$G$上に$3$点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_3$を

点${\mathrm{Q}}_1$の$x$座標は$2\text{，}$点${\mathrm{Q}}_2$の$x$座標は$4\text{，}$点${\mathrm{Q}}_3$の$x$座標は$6$

であるようにとる．

　台形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_1$の面積を$S_1\text{，}$台形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_1$の面積を$S_2$とするとき

• $S_1=2(\boxed{\text{アイ}}a+\boxed{\text{ウ}}b+c)$
• $S_2=4(\boxed{\text{エオ}}a+\boxed{\text{カ}}b+c)$

である．

　三角形${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3$の面積が$16$であるとき

$a=\boxed{\text{キ}}$

である．

(2)　$a=\boxed{\text{ キ }}$であり，グラフ$G$が点$(\mathrm{-2},2)$を通るとする．グラフ$G$が表す放物線の原点の座標を$b$を用いて表すと

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}b,\frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}{b}^2+\boxed{\text{セ}}b-\boxed{\text{ソ}})}$

となる．グラフ$G$が$x$軸より上側にあるので，$b$の値の範囲は

$\boxed{\text{タ}}<b<\boxed{\text{チツ}}$

である．

　さらに，関数$y=\boxed{\text{キ}}{x}^2$のグラフを$x$軸方向に$\mathrm{-2}\text{，}$$y$軸方向に$k$だけ平行移動したグラフを$H$とする．グラフ$H$がグラフ$G$に重なるのは

$b=\boxed{\text{テ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{トナ}}\text{，}$$k=\boxed{\text{ニ}}$

のときである．

【３】

〔１〕　$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{D}$が

$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{CDA}=120°\text{，}$$\angle \mathrm{DAC}=45°$

を満たしているとする．さらに

$\mathrm{AC}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{7}$

であるとする．

　$▵\mathrm{ADC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\angle \mathrm{COD}=\boxed{\text{アイ}}°$であり，外接円の半径は$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．また

$\mathrm{CD}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\mathrm{BD}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\mathrm{AD}=\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-\boxed{\text{キ}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

【３】

〔２〕　$▵\mathrm{EFG}$を$\mathrm{EF}=\mathrm{EG}$である二等辺三角形とし，その外接円の中心を$\mathrm{P}$とする．また，辺$\mathrm{FG}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{EM}$と円$P$との二つの交点のうち点$\mathrm{E}$以外の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき

$\mathrm{EM}=\sqrt{5}+1\text{，}$$\mathrm{FM}=\sqrt{5}-1$

ならば

$\mathrm{EF}=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\text{，}$$\mathrm{EH}=\boxed{\text{ス}}(\sqrt{5}-\boxed{\text{セ}})$

であり，$\mathrm{PE}$を半径とする球の体積は

$\boxed{\text{ソタ}}(\sqrt{5}-\boxed{\text{チ}})\pi$

である．

【４】　$a$を定数とし，$x$の$2$次方程式

$x^2+(a-9)x-12a^2-29a+8=0\cdots \text{①}$

について考える．このとき

$12a^2+29a-8$$=(\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}})(\boxed{\text{ウ}}a-\boxed{\text{エ}})$

であるから，$2$次方程式$\text{①}$の解は

$x=\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キク}}a+\boxed{\text{ケ}}$

である．

(1)　$\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{<mspace width=".5em"></mspace>キク<mspace width=".5em"></mspace>}}a+\boxed{\text{ケ}}$がともに正となる$a$の値の範囲は

${\displaystyle -\frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}<a<\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

(2)　$\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キク}}a+\boxed{\text{ケ}}$のうち，一つが$5$より大きく，もう一つが$\mathrm{-3}$より小さくなるような$a$の値の範囲は

$a<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{チ}}<a$

である．

【１】

［１］

(1)　$2$次方程式$13x^2+2x-2=0$の二つの解のうち，大きい方を$\alpha$とすると

${\displaystyle \frac{1}{\alpha }=\frac{\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{2}}$

である．

【１】

〔１〕

(2)　${(1+x)}^4$の展開式における$x^2$の係数は$\boxed{\text{エ}}$である．

　また，$n$を$2$以上の自然数とするとき

${(1+2x)}^n$

の展開式における$x^2$の係数が$60$となるのは，$n=\boxed{\text{オ}}$のときである．

【１】

〔２〕　次の$\boxed{\text{カ}}$〜$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(1)　$m$と$n$を整数とし，条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を次のように定める．

• $p:mn$は偶数
• $q:m$と$n$はともに偶数
• $r:m$または$n$は偶数

　このとき

• $p$は$q$であるための$\boxed{\text{カ}}$．
• $q$は$r$であるための$\boxed{\text{キ}}$．

(2)　命題「方程式$x^2+x-18=0$は整数の解をもつ」は，$\boxed{\text{ク}}\text{．}$

　命題「方程式$x^2+x-20=0$は整数の解をもつ」は，$\boxed{\text{ケ}}\text{．}$

(3)　自然数$k$が奇数であることは，方程式$x^2+x-k=0$が整数の解をもたないための$\boxed{\text{コ}}\text{．}$

• $\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である
• $\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件でない
• $\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件でない
• $\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない
• $\overline{)\text{4}}$　真である
• $\overline{)\text{5}}$　偽である

【３】　円周を$12$等分した点を反時計回りの順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{12}$とする．このうち異なる$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．

(1)　このようにして作られる三角形の個数は全部で$\boxed{\text{アイウ}}$個である．このうち正三角形は$\boxed{\text{エ}}$個で，直角二等辺三角形は$\boxed{\text{オカ}}$個である．

(2)　このようにして作られる三角形が，正三角形でない二等辺三角形になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．また，直角三角形になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

(3)　このようにして作られる三角形の形によって，次のように得点を定める．

• 正三角形のとき　$5$点
• 直角二等辺三角形のとき　$3$点
• 正三角形でなく直角二等辺三角形でもない二等辺三角形のとき　$2$点
• 直角二等辺三角形でない直角三角形のとき　$1$点
• 上のいずれでもないとき　$0$点

　このとき，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$点である．

注　直角二等辺三角形とは，二つの辺の長さが等しい直角三角形のことである．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=3$である．$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AI}$の延長と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BI}$の延長と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．$4$点$C\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{D}$は同一円周上にあるものとする．

　下の文章中の$\boxed{\text{イウ}}$については，当てはまる文字を$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{D}$のうちから，$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{エオ}}$については，当てはまる文字を$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{E}$のうちから選べ．

(1)　$\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{AI}\boxed{\text{ア}}=\angle \mathrm{B}\boxed{\text{イウ}}+\angle \mathrm{A}\boxed{\text{エオ}}$であるから，$\angle \mathrm{BCA}=\boxed{\text{カキ}}°$である．したがって，$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ク}}$である．また

$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$$\mathrm{BI}\cdot \mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$

である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$

である．