2008　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　連立方程式

$\{\begin{array}{l}x-2y=\mathrm{-1}\\ 2x-5y=-\sqrt{6}\end{array}$

の解は

$x=\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{6}\text{，}$$y=\boxed{\text{エオ}}+\sqrt{6}$

である．$x\text{，}$$y$がこの値のとき

${\displaystyle \frac{2-\left|x\right|}{\left|y\right|}=\frac{\boxed{\text{カ}}+\sqrt{6}}{\boxed{\text{キ}}}}$

であるから，$m\leqq {\displaystyle \frac{2-\left|x\right|}{\left|y\right|}}<m+1$を満たす整数$m$は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

［２］　長方形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=8\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=12$とする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{R}$を

$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$

となるようにとり，$\mathrm{AP}=x$とおく$(0<x<8)$．このとき，台形$\mathrm{PBCR}$の面積は$\boxed{\text{ケコ}}$である．また，$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$は

$S=x^2-\boxed{\text{サシ}}x+\boxed{\text{スセ}}$

である．$S<24$となる$x$の範囲は

$\boxed{\text{ソ}}<x<\boxed{\text{タ}}$

である．

【２】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$a\ne 0$とする．$2$次関数

$y=a{x}^2-bx-a+b\cdots \text{①}$

のグラフが点$(\mathrm{-2},6)$を通るとする．このとき

$b=-a+\boxed{\text{ア}}$

であり，グラフの頂点の座標を$a$を用いて表すと

${\displaystyle (\frac{-a+\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}a},\frac{-{(\boxed{\text{エ}}a-\boxed{\text{オ}})}^2}{\boxed{\text{カ}}a})}$

である．

　さらに，$2$次関数$\text{①}$のグラフの頂点の$y$座標が$\mathrm{-2}$であるとする．このとき，$a$は

$\boxed{\text{キ}}{a}^2-\boxed{\text{クケ}}a+\boxed{\text{コ}}=0$

を満たす．これより，$a$の値は

$a=\boxed{\text{サ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

　以下，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であるとする．このとき，$2$次関数$\text{①}$のグラフの頂点の$x$座標は$\boxed{\text{セ}}$であり，$\text{①}$のグラフと$x$軸の$2$交点の$x$座標は$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ソ}}$と$\boxed{\text{タ}}$は解答の順序を問わない．

　また，関数$\text{①}$は$0\leqq x\leqq 9$において

$x=\boxed{\text{チ}}$のとき，最小値$\boxed{\text{ツテ}}$をとり

$x=\boxed{\text{ト}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$をとる．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=4\sqrt{2}\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=45°$とする．また，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．

　このとき，$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ア}}$であり，外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

　下の$\boxed{\text{オ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから当てはまるものを一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}\mathrm{AC}$
• $\overline{)\text{1}}\mathrm{AD}$
• $\overline{)\text{2}}\mathrm{BC}$
• $\overline{)\text{3}}\mathrm{BD}$

　外接円$O$の点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{CBD}$の面積比が$7:2$であるようにとる．このとき，$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BCD}$であるから，$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{CBD}$の面積比は

$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}$と$\boxed{\text{オ}}\cdot \mathrm{CD}$

の比に等しい．このことより

$\mathrm{AD}=\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\mathrm{CD}$

である．また，$▵\mathrm{ADC}$において$\angle \mathrm{ADC}=\boxed{\text{クケ}}°$であるから

$\mathrm{CD}=\boxed{\text{コ}}，\mathrm{AD}=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シス}}}$

である．

　点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AD}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とすると

$\mathrm{CH}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ADC}$を直線$\mathrm{AD}$を軸として$1$回転してできる立体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\sqrt{\boxed{\text{テト}}}\pi$

である．

【４】　$P=x(x+3)(2x-3)$とする．また，$a$を定数とする．

(1)　$x=a+1$のときの$P$の値は

$2a^3+\boxed{\text{ア}}{a}^2+\boxed{\text{イ}}a-\boxed{\text{ウ}}$

である．

(2)　$x=a+1$のときの$P$の値と，$x=a$のときの$P$の値が等しいとする．このとき，$a$は

$3a^2+\boxed{\text{エ}}a-\boxed{\text{オ}}=0$

を満たす．したがって

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

　とくに

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{<mspace width=".5em"></mspace> カキ<mspace width=".5em"></mspace>}}-\sqrt{\boxed{\text{<mspace width=".5em"></mspace> クケ<mspace width=".5em"></mspace>}}}}{\boxed{\text{コ}}}}+1$

のときの$P$の値と

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{<mspace width=".5em"></mspace> カキ<mspace width=".5em"></mspace>}}-\sqrt{\boxed{\text{<mspace width=".5em"></mspace> クケ<mspace width=".5em"></mspace>}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

のときの$P$の値は等しく，その値は

$\boxed{\text{サ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

【１】

〔２〕　次の$\boxed{\text{ケ}}$〜$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　自然数$m\text{，}n$について，条件$p\text{，}q\text{，}r$を次のように定める．

• $p:m+n$は$2$で割り切れる
• $q:n$は$4$で割り切れる
• $r:m$は$2$で割り切れ，かつ$n$は$4$で割り切れる

　また，条件$p$の否定を$\bar{p}$，条件$r$の否定を$\bar{r}$で表す．このとき

$p$は$r$であるための$\boxed{\text{ケ}}$．

$\bar{p}$は$\bar{r}$であるための$\boxed{\text{コ}}$．

「$p$かつ$q$」は$r$であるための$\boxed{\text{サ}}$．

「$p$または$q$」は$r$であるための$\boxed{\text{シ}}$．

• $\overline{)\text{0}}$ 必要十分条件である
• $\overline{)\text{1}}$ 必要条件であるが，十分条件でない
• $\overline{)\text{2}}$ 十分条件であるが，必要条件でない
• $\overline{)\text{3}}$ 必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=4\sqrt{2}\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=45°$とする．また，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．

　このとき，$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ア}}$であり，外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

　外接円$O$上の点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}=\sqrt{10}$であるようにとる．$\angle \mathrm{ADC}=\boxed{\text{オカ}}°$であるから，$\mathrm{AD}=x$とすると$x$は$2$次方程式

$x^2-\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}x-\boxed{\text{ケコ}}=0$

を満たす．$x>0$であるから$\mathrm{AD}=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$となる．

　下の$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ツ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}\mathrm{AC}$
• $\overline{)\text{1}}\mathrm{AD}$
• $\overline{)\text{2}}\mathrm{AE}$
• $\overline{)\text{3}}\mathrm{BA}$
• $\overline{)\text{4}}\mathrm{CD}$
• $\overline{)\text{5}}\mathrm{ED}$

　点$\mathrm{A}$における外接円$O$の接線と辺$\mathrm{DC}$の延長の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\angle \mathrm{CAE}=\angle \boxed{\text{ス}}\mathrm{E}$であるから，$▵\mathrm{ACE}$と$▵\mathrm{D}\boxed{\text{セ}}$は相似である．これより

$\mathrm{EA}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}\mathrm{EC}$

である．また，${\mathrm{EA}}^2=\boxed{\text{ツ}}\cdot \mathrm{EC}$である．したがって

$\mathrm{EA}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

であり，$▵\mathrm{ACE}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【４】　さいころを$3$回投げ，次の規則にしたがって文字の列を作る．ただし，何も書かれていないときや文字が$1$つだけのときも文字の列と呼ぶことにする．

　$1$回目は次のようにする．

• ・出た目の数が$1\text{，}$$2$のときは，文字$\mathrm{A}$を書く
• ・出た目の数が$3\text{，}$$4$のときは，文字$\mathrm{B}$を書く
• ・出た目の数が$5\text{，}$$6$のときは，何も書かない

　$2$回目，$3$回目は次のようにする．

• ・出た目の数が$1\text{，}$$2$のときは，文字の列の右側に文字$\mathrm{A}$を$1$つ付け加える
• ・出た目の数が$3\text{，}$$4$のときは，文字の列の右側に文字$\mathrm{B}$を$1$つ付け加える
• ・出た目の数が$5\text{，}$$6$のときは，いちばん右側の文字を削除する．ただし，何も書かれていないときはそのままにする

　以下の問いでは，さいころを$3$回投げ終わったときにできる文字の列について考える．

(1)　文字の列が$\mathrm{AAA}$となるさいころの目の出方は$\boxed{\text{ア}}$通りである．

　文字の列が$\mathrm{AB}$となるさいころの目の出方は$\boxed{\text{イ}}$通りである．

(2)　文字の列が$\mathrm{A}$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$であり，何も書かれていない文字の列となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(3)　文字の列の字数が$3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$であり，字数が$2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$である．また，文字の列の字数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．ただし，何も書かれていないときの字数は$0$とする．