2009 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IAMathJax

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2009 大学入試センター試験 本試

数学I

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a b c は定数で, a>0 とする.関数 f (x )=a x2 +b x+c f (1 )= 4 f (2) =9 を満たすとき

b= アイ a+ c= a-

となる.

 このとき,方程式 a x2 +b x+c= 0 が異なる二つの実数解をもつような a の値の範囲は

0<a < キク <a

である.とくに a=1 3 のとき, a x2+ bx +c= 0 の解は

c= ケコ ± サシ

である.

2009 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通問題

ただし数学IAの番号は【1】〔1〕

数学IAでは解答記号はア,イ,ウ,エ,オカキ

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 整式 A= 6x 2+5 x y+y 2+2 x- y-20 を因数分解すると

A=( x+y+ ) ( x+ y- )

となる.

  x=-1 y= 23 -7 のとき, A の値は チツテ である.

2009 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を定数とし, x 2 次関数

y=2 x2- 4(a +1) x+10 a+1

のグラフを G とする.

 グラフ G の頂点の座標を a を用いて表すと

(a+ , イウ a2 + a- )

である.

(1) グラフ G x 軸と接するのは

a= ±

のときである.

(2) 関数 -1 x3 における最小値を m とする.

m= イウ a 2+ a-

となるのは

ケコ a

のときである.また

である.

 したがって, m= 79 となるのは

a= トナ

のときである.

2009 大学入試センター試験 本試

数学I

配点30点

数学IA【3】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

2009年センター試験本試験数学I【3】の図

【3】  ABC において, AB=2 BC= 213 AC=6 とする.

 このとき, CAB= アイウ ° であり, ABC の面積は である.

  ABC の外接円の中心を O とすると

OA=OB = キク

であるので,辺 AB の中点を M とすると OM = である.

 次に,辺 AC 上に点 D AB =AD となるようにとる. ABD の外接円の中心を O とすると

O A=O B = O M=

である.

 したがって

OO =

である.また

tan ODO =

である.

2009 大学入試センター試験 本試

数学I

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 次のような装置がある. x>1 を満たす数 x が書かれた紙をこの装置に入れると,装置は n x< n+1 を満たす整数 n を求め,以下のように作動する.

(1)  27 8 が書かれた紙をこの装置に入れて,出てきた紙をまた装置に入れることを,紙が出てくる限り繰り返す.

  3 278 <4 であるから, 1 回目には 3 個の玉と 83 が書かれた紙が出てくる.

 次に 83 が書かれた紙を入れるので, 2 回目には 個の玉と が書かれた紙が出てくる.

(2)  1 +10 3 が書かれた紙をこの装置に入れて,出てきた紙をまた装置に入れることを,紙が出てくる限り繰り返す.

  1 回目には 個の玉と +10 が書かれた紙を出てくる.

  2 回目には 個の玉と +10 が書かれた紙が出てくる.

  3 回目には 個の玉と +10 が書かれた紙が出てくる.

 また, 11 回目には 個の玉と +10 が書かれた紙が出てくる.

2009 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 実数 a に関する条件 p q r を次のように定める.

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ.

  q p であるための

(2) 条件 q の否定を q 条件 r の否定を r で表す.

 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

命題「 p ならば 」は真である.

命題「 ならば p 」は真である.

2009 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点30点

数学I【3】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

2009年センター試験本試験数学IA【3】の図

【3】  ABC において, AB=1 BC= 7 AC =2 とし, CAB の二等分線と辺 BC との交点を D とする.

 このとき, CAB= アイウ ° であり

BD= CD=

である.

  AD の延長と ABC の外接円 O との交点のうち A と異なる方を E とする.このとき, DAB と等しい角は,次の 0 4 のうち である.ただし, の解答の順序は問わない.

 これより, BE= である.また, DE= である.

 次に, BED の外接円の中心を O とすると

O B=

であり

tan EBO =

である.

2009 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 さいころを繰り返し投げ,出た目の数を加えていく.その合計が 4 以上になったところで投げることを終了する.

(1)  1 の目が出たところで終了する目の出方は 通りである.

  2 の目が出たところで終了する目の出方は 通りである.

  3 の目が出たところで終了する目の出方は 通りである.

  4 の目が出たところで終了する目の出方は 通りである.

(2) 投げる回数が 1 回で終了する確率は であり, 2 回で終了する確率は クケ である.終了するまでに投げる回数が最も多いのは 回であり,投げる回数が 回で終了する確率は シスセ である.終了するまでに投げる回数の期待値は ソタチ ツテト である.

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