2009　大学入試センター試験　本試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

〔１〕　$x\geqq 2\text{，}$$y\geqq 2\text{，}$$8\leqq xy\leqq 16$のとき，$z={\log }_2\sqrt{x}+{\log }_{2}y$の最大値を求めよう．

　$s={\log }_{2}x\text{，}$$t={\log }_{2}y$とおくと，$s\text{，}$$t\text{，}$$s+t$のとり得る値の範囲はそれぞれ

$s\geqq \boxed{\text{ア}}\text{，}$$t\geqq \boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\leqq s+t\leqq \boxed{\text{ウ}}$

となる．また

$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}s+t$

が成り立つから，$z$は$s=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{キ}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$をとる．したがって，$z$は$x=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{サ}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$をとる．

【１】

〔２〕　$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で

$5\sin \theta -3\cos 2\theta =3$$\cdots$(＊)

を満たす$\theta$について考えよう．

　方程式(＊)を$\sin \theta$を用いて表すと

$\boxed{\text{シ}}{\sin }^2\theta +5\sin \theta -\boxed{\text{ス}}=0$

となる．したがって，$-1\leqq \sin \theta \leqq 1$より

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

であり，$0\leqq \theta <2\pi$の範囲でこの等式を満たす$\theta$のうち，小さい方を${\theta }_1\text{，}$大きい方を${\theta }_2$とすると

$\cos {\theta }_1={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$\cos {\theta }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

　${\theta }_1$について不等式$\boxed{\text{ツ}}$が成り立つ．$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}0<{\theta }_{\mathtt{1}}<{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$
• $\overline{)\text{1}}{\displaystyle \frac{\pi }{12}<{\theta }_1<\frac{\pi }{6}}$
• $\overline{)\text{2}}{\displaystyle \frac{\pi }{6}<{\theta }_1<\frac{\pi }{5}}$
• $\overline{)\text{3}}{\displaystyle \frac{\pi }{5}<{\theta }_1<\frac{\pi }{4}}$
• $\overline{)\text{4}}{\displaystyle \frac{\pi }{4}<{\theta }_1<\frac{\pi }{3}}$
• $\overline{)\text{5}}{\displaystyle \frac{\pi }{3}<{\theta }_1<\frac{\pi }{2}}$

ただし，必要ならば，次の値

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

を用いてもよい．

　さらに，不等式$n{\theta }_1>{\theta }_2$を満たす自然数$n$のうち最小のものは$\boxed{\text{テ}}$である．

【２】　放物線$y=2x^2$を$C\text{，}$点$(1,-2)$を$\mathrm{A}$とする．

　点$\mathrm{Q}(u,v)$に関して，点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{P}(x,y)$とすると

$u={\displaystyle \frac{x+\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$v={\displaystyle \frac{y-\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

が成り立つ．$\mathrm{Q}$が$C$上を動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$D$とすると，$D$は放物線

$y=x^2+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

である．

　二つの放物線$C$と$D$の交点を$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$とする．ただし，$x$座標の小さい方を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の$x$座標はそれぞれ$\boxed{\text{キク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$で，点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$における放物線$D$の接線の方程式はそれぞれ

$y=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{サ}}x-\boxed{\text{シ}}$

である．

　$\mathrm{P}$を放物線$D$上の点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とおく．$\mathrm{P}$から$x$軸に引いた垂線と放物線$C$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\boxed{\text{キク}}<a<\boxed{\text{ケ}}$のとき，三角形$\mathrm{PHR}$の面積$S(a)$は

$S(a)={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ス}}}}(\boxed{\text{セ}}{a}^3+a^2+\boxed{\text{ソ}}a+\boxed{\text{タ}})$

と表される．$S\left(a\right)$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のとき，最大値をとる．

　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のとき，直線$\mathrm{HR}$と放物線$D$の交点のうち，$\mathrm{R}$と異なる点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．このとき，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$の範囲で，放物線$D$と直線$\mathrm{PH}$および直線$\mathrm{HR}$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$である．

【３】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に対して，線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{PN}:\mathrm{NQ}=4:1$となるようにとる．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するときは，$\mathrm{N}$は$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と同じ点とする．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$(\cos \alpha ,\sin \alpha )\text{，}$$(\cos \beta ,\sin \beta )$とする．ここで，$0\leqq \alpha <2\pi \text{，}$$0\leqq \beta \leqq 2\pi$とする．このとき，点$\mathrm{N}$の座標$(X,Y)$は

$X={\displaystyle \frac{\cos \alpha +\boxed{\text{ア}}\cos \beta }{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$Y={\displaystyle \frac{\sin \alpha +\boxed{\text{ウ}}\sin \beta }{\boxed{\text{エ}}}}$

で与えられ

$X^2+Y^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}\cos (\alpha -\beta )+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$

となるので，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を円$C_1$上で動かすとき，$X^2+Y^2$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}\leqq X^2+Y^2\leqq 1$

である．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を円$C_1$上で動かしたとき，点$\mathrm{N}$は不等式

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}\leqq x^2+y^2\leqq 1$$\cdots$(＊)

が表す領域全体を動くことを示そう．

　点$\mathrm{Q}(\cos \beta ,\sin \beta )$を固定し，点$\mathrm{P}$を$C_1$上で$1$周させたとき，点$\mathrm{N}$の軌跡は，点

$\mathrm{T}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\cos \beta ,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\sin \beta )$

を中心とする半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$の円$C_2$である．

　さらに，点$\mathrm{Q}$を$C_1$上で$1$周させたとき，$\mathrm{T}$は原点を中心とする半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$の円上を$1$周する．したがって，点$\mathrm{Q}$を$C_1$上で$1$周させたとき，円$C_2$が通過してできる図形は，上の不等式(＊)が表す領域と一致する．

【４】　$P\left(x\right)$を$3$次の整式とし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数であり，$a\ne 0$とする．$P\left(x\right)$を$5a{x}^2-bx+c$で割ったとき，商は$-x+2$で，余りは$2x-4$であるとする．

(1)　$P(x)$は$x-\boxed{\text{ア}}$で割り切れる．その商は

$\boxed{\text{イウエ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}x-\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}$

である．

　また，$P(x)$を$(5x-2)(x-1)$で割ったときの余りが$4x$であるとすると，$b$と$c$は$a$を用いて

$b=\boxed{\text{ク}}a-\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{コ}}a+\boxed{\text{サ}}$

と表される．

　以下では$b=\boxed{\text{ク}}a-\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{コ}}a+\boxed{\text{サ}}$とする．

(2)　$3$次方程式$P(x)=0$が$0$と異なる三つの解をもつとき，それら三つの解の逆数の和は$a$を用いて表すと

$4-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}a-\boxed{\text{セ}}}}$

である．

(3)　$3$次方程式$P(x)=0$の一つの解の逆数が$1+ki$（$k$は正の実数）であるとする．このとき，三つの解の逆数の和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$であり，$a$の値は$\boxed{\text{チ}}$となる．したがって，$k$の値は$\boxed{\text{ツ}}$である．

【３】　$\{a_n\}$を初項$a_1$が$1$で公比が${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列とする．数列$\{a_n\}$の偶数番目の項を取り出して，数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおく．

(1)　$\{b_n\}$も等比数列であり，その初項は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$公比は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．したがって

$T_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}(1-\frac{\boxed{\text{キ}}}{{\boxed{\text{ク}}}^n})}$

である．また，積$b_1{b}_2\cdots b_n$を求めると

$b_1{b}_2\cdots b_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{{\boxed{\text{コ}}}^{n^2}}}$

となる．

(2)　次に，数列$\{c_n\}$を$c_n=2n\cdot b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定め，$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$とおく．

$\boxed{\text{サ}}{c}_{n+1}-c_n=\boxed{\text{シ}}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つから

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(\boxed{\text{サ}}{c}_{k+1}-c_k)=\boxed{\text{シ}}{T}_n$$\cdots \text{①}$

である．また，この左辺の和をまとめ直すと，$U_n\text{，}$$c_{n+1}\text{，}$$c_1$を用いて

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(\boxed{\text{サ}}{c}_{k+1}-c_k)$$=\boxed{\text{ス}}{U}_n+\boxed{\text{セ}}{c}_{n+1}-\boxed{\text{ソ}}{c}_1$$\cdots \text{②}$

と表される．

　$\text{①}$と$\text{②}$より

$U_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}-\frac{\boxed{\text{トナ}}n+\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}\cdot \frac{1}{{\boxed{\text{ネ}}}^n}}$

となる．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間における$5$点を$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{D}(-1,0,0)\text{，}$$\mathrm{E}(0,-2,0)$とする．ひし形$\mathrm{BCDE}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{A}-\mathrm{BCDE}$と，平面$\mathrm{ABC}$に平行な平面との共通部分について考える．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\boxed{\text{ア}}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}\text{，}$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\mathrm{BE}}$とおく．$0<a<1$とし，点${\mathrm{B}}_1$を線分$\mathrm{BE}$を$a:(1-a)$に内分する点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1}=\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{v}$である．点${\mathrm{A}}_1$を

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1}$

で定め，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$と線分$\mathrm{AE}$が交わることを示そう．${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$上の点$\mathrm{P}$は，$0\leqq b\leqq 1$を満たす$b$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+b\overrightarrow{u}+\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{v}$

と表される．また，$\mathrm{AE}$上の点$\mathrm{Q}$は，$0\leqq c\leqq 1$を満たす$c$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{u}+(\boxed{\text{カ}}-c)\overrightarrow{v}$

と表される．

　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は$b=\boxed{\text{キ}}=\boxed{\text{クケ}}+1$のとき一致するから，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$と$\mathrm{AE}$は，$\mathrm{AE}$を$\boxed{\text{コ}}:(1-\boxed{\text{コ}})$に内分する点で交わることがわかる．この点を${\mathrm{E}}_1$とする．

　点${\mathrm{C}}_1$を

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1}$

で定めると，同様に考えることにより，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$と線分$\mathrm{AD}$も，$\mathrm{AD}$を$\boxed{\text{サ}}:(1-\boxed{\text{サ}})$に内分する点で交わることがわかる．この点を${\mathrm{D}}_1$とすると

$\overrightarrow{{\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1}=\boxed{\text{シ}}\overrightarrow{\mathrm{DE}}$

であり，三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$は三角形$\mathrm{ABC}$と平行であるから，四角形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}(\boxed{\text{ソ}}-{\boxed{\text{タ}}}^{\boxed{\text{チ}}})$

である．

　また

$\left|\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{D}}_1}\right|=\sqrt{\boxed{\text{ツ}}{a}^2-\boxed{\text{テ}}a+\boxed{\text{ト}}}$

である．

【５】　右の表は，$10$名からなるある少人数クラスをⅠ班とⅡ班に分けて，$100$点満点で$2$回ずつ実施した数学と英語のテストの得点をまとめたものである．ただし，表中の平均値はそれぞれ$1$回目と$2$回目の数学と英語のクラス全体の平均値を表している．また，A ，B ，C ，D の値はすべて整数とする．

　以下，小数の形で解答する場合は，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合は，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　$1$回目の数学の得点について，Ⅰ班の平均値は$\boxed{\text{アイ}}.\boxed{\text{ウ}}$点である．また，クラス全体の平均値は$45.0$点であるので，Ⅱ班の$1$番目の生徒の数字の得点 A は$\boxed{\text{エオ}}$点である．

(2)　Ⅱ班の$1$回目の数学と英語の得点について，数学と英語の分散はともに$101.2$である．したがって，相関係数は$\boxed{\text{カ}}.\boxed{\text{キク}}$である．

(3)　$1$回目の英語の得点について，Ⅰ班の$3$番目の生徒の得点 B の値がわからないとき，クラス全体の得点の中央値$\mathrm{M}$の値として$\boxed{\text{ケ}}$通りの値があり得る．

　実際は，$1$回目の英語の得点のクラス全体の平均値 E が$54.0$点であった．したがって，B は$\boxed{\text{コサ}}$点と定まり，中央値$\mathrm{M}$は$\boxed{\text{シス}}.\boxed{\text{セ}}$点である．

(4)　$2$回目の数学の得点について，Ⅰ班の平均値はⅡ班の平均値より$4.6$点大きかった．したがって，Ⅰ班の$5$番目の生徒の得点 C からⅡ班の$1$番目の生徒の得点 D を引いた値は$\boxed{\text{ソ}}$点である．

(5)　$1$回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関図（散布図）は，$\boxed{\text{タ}}$であり，$2$回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関図は，$\boxed{\text{チ}}$である．また，$1$回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関係数を$r_1\text{，}$$2$回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関係数を$r_2$とするとき，値の組$(r_1,r_2)$として正しいのは$\boxed{\text{ツ}}$である．$\boxed{\text{タ}}\text{，}$$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを，それぞれ次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

　また，$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}(0.54,0.20)$
• $\overline{)\text{1}}(-0.54,0.20)$
• $\overline{)\text{2}}(0.20,0.54)$
• $\overline{)\text{3}}(0.20,-0.54)$

(6)　$2$回目のクラス全体$10$名の英語の得点について，採点基準を変更したところ，得点の高い方から$2$名の得点が$2$点ずつ下がり，得点の低い方から$2$名の得点が$2$点ずつ上がったが，その他の$6$名の得点に変更は生じなかった．このとき，変更後の平均値は$\boxed{\text{テ}}$する．また，変更後の分散は$\boxed{\text{ト}}$する．$\boxed{\text{テ}}\text{，}$$\boxed{\text{ト}}$に当てはまるものを，それぞれ次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　変更前より減少
• $\overline{)\text{1}}$　変更前と一致
• $\overline{)\text{2}}$　変更前より増加

【６】　$p\text{，}$$q$を異なる自然数とする．このとき，与えられた自然数$d$について，$d$以下の自然数$k$のうちで

$k=mp+nq$$\text{（}m\text{，}n\text{は}0\text{以上の整数）}$$\cdots$(＊)

のように表すことができるものを小さい順にすべて列挙し，最後にその個数を表示したい．そのために次のような〔プログラム〕を作った．ここで，INT(X) は X を越えない最大の整数を表す関数である．

〔プログラム〕

• 100 INPUT PROMPT "p="; P
• 110 INPUT PROMPT "q=": P
• 120 INPUT PROMPT "d="; D
• 130 LET U=0
• 140 FOR K=1 TO D
• 150  IF K-INT(K/P)*P=0 THEN $\boxed{\text{ア}}$
• 160  FOR M=0 TO INT(K/P)
• 170   LET R=K-M*P
• 180   IF $\boxed{\text{イ}}$ THEN $\boxed{\text{ア}}$
• 190  NEXT M
• 200  $\boxed{\text{ウ}}$
• 210  PRINT K
• 220  $\boxed{\text{エ}}$
• 230 NEXT K
• 240 PRINT "総数="; U
• 250 END

(1)　〔プログラム〕の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，それぞれ次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{b}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$GOTO 150
• $\overline{)\text{1}}$GOTO 170
• $\overline{)\text{2}}$GOTO 180
• $\overline{)\text{3}}$GOTO 200
• $\overline{)\text{4}}$GOTO 210
• $\overline{)\text{5}}$GOTO 230
• $\overline{)\text{6}}$PRINT R
• $\overline{)\text{7}}$PRINT U
• $\overline{)\text{8}}$PRINT M
• $\overline{)\text{9}}$LET R=R+1
• $\overline{)\text{a}}$LET U=U+1
• $\overline{)\text{b}}$LET K=K+1

　また，$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$R-INT(R/M)*M<>0
• $\overline{)\text{1}}$R-INT(R/M)*M=0
• $\overline{)\text{2}}$R-INT(R/P)*P<>0
• $\overline{)\text{3}}$R-INT(R/P)*P=0
• $\overline{)\text{4}}$R-INT(R/Q)*Q<>0
• $\overline{)\text{5}}$R-INT(R/Q)*Q=0

(2)　〔プログラム〕を実行し，変数 P ，Q ，D にそれぞれ 3 ，7 ，15 を入力したとき，整数の列

3 $\boxed{\text{オ}}$ 7 9 $\boxed{\text{カキ}}$ 12 13 14 15

に続いて

総数 =9

が出力される．また，変数 P ，Q ，D にそれぞれ 3 ，7 ，100 を入力したとき，整数の列に続いて

総数 =$\boxed{\text{クケ}}$

が出力される．

　〔プログラム〕を部分的に変更して，次のような$2$種類のプログラムを作る．

(3)　式(＊)のように表すことができないような$d$以下の自然数$k$を小さい順にすべて列挙し，最後にその個数を表示したい．そのためには，〔プログラム〕の 150 行および 180 行にある$\boxed{\text{ア}}$を$\boxed{\text{コ}}$に置き換えるとともに，200 行を削除すればよい．$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$GOTO 190
• $\overline{)\text{1}}$GOTO 200
• $\overline{)\text{2}}$GOTO 210
• $\overline{)\text{3}}$GOTO 220
• $\overline{)\text{4}}$GOTO 230
• $\overline{)\text{5}}$GOTO 240

(4)　自然数$k$に対して，式(＊)を満たす組$(m,n)$の個数を$v_k$とする．$d$以下の各自然数$k$について$v_k$を出力し，最後に総数として和$v_1+\cdots +v_d$の値を表示したい．そのためには，〔プログラム〕の 150 行を

150 $\boxed{\text{サ}}$

のように変更し，180 行の$\boxed{\text{ア}}$を$\boxed{\text{シ}}$に置き換えて，200 行を削除する．さらに 210 行および 220 行を

• 210  PRINT "k=" ;K; "のとき，" ;V; "個"
• 220  $\boxed{\text{ス}}$

に変更すればよい．$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，それぞれ次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$GOTO 210
• $\overline{)\text{1}}$GOTO 220
• $\overline{)\text{2}}$GOTO 230
• $\overline{)\text{3}}$LET V=0
• $\overline{)\text{4}}$LET V=U
• $\overline{)\text{5}}$LET U=U+V
• $\overline{)\text{6}}$LET V=V+U
• $\overline{)\text{7}}$LET U=U+1
• $\overline{)\text{8}}$LET V=V+1