2009 浜松医科大学 前期医学部

Mathematics

Examination

Test

Archives

2009 浜松医科大学 前期

医学科

配点70点

易□ 並□ 難□

【1】(1) 重心と外心が一致する三角形の形を求めよ.

(2)  3 A ( 1 2 , 1 2) B (cos β,sin β) C ( cosγ ,sinγ ) ( π2 β <γ< 2π ) を頂点とする三角形 ABC

cosβ +cosγ =sinβ +sinγ =- 12

を満たすとき, β γ の値を求めよ.

(3)  α β γ 0α< β<γ π

cos2 α+cos 2β +cos2 γ= 32

sinα cosα +sinβ cosβ+ sinγ cosγ= 0

を満たすとき, β-α γ -α の値を求めよ.またこのとき,

sinα+sin β+sin γ

の最大値をとる α β γ の値を求めよ.

2009 浜松医科大学 前期

医学科

【2】〜【4】から2題選択

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】  k 6 以上の整数とする.各成分が 3 から k までの整数値をとる空間ベクトル u= (a, b,c ) で, ab bc ca を満たすもの全体のなす集合を U とする.この U を全体集合とし,その部分集合 S の補集合を S で, S の要素の個数を n (S ) で表わす.

 さて,各 u =( a,b,c )U に基づいて, 5 つの空間ベクトル

v1 = (2, a,1 ) v2 = (a, 1,b ) v3 = (1, b,c )

v4 =( b,c,2 ) v5 =( c,2,a )

を定める. h =(1 ,1,1 ) とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1) 実数 t が変化するとき, | v1 -t h | 2 の最小値を m (a ) とする.和 a=3 km (a ) を求めよ.

(2)  U の部分集合 U 1 U2 V を次のように定める.

U1= {u = (a, b,c ) |u U a<b< c}

U2= {u =( a,b,c )| u U c<a<b }

V={ u =(a ,b,c ) |u U に基づく空間ベクトル v i h の内積 vi h 1i 5 は,互いに異なる値をとる }

このとき, n( U1 V) n( U1 U2 ) の値をそれぞれ求めよ.

(3) 差 n (U 2V ) -n( U1 V ) の値は,二項係数 C 2 k-4 に等しいことを示せ.

2009 浜松医科大学 前期

医学科

【2】〜【4】から2題選択

配点60点

易□ 並□ 難□

【3】 実数 a b に対し,定積分

I( a,b )= 0π (asin θ 2+b )2 sinθ

を考える.以下の問いに答えよ.

(1) 次の不等式が成り立つことを示せ.

I( a,b) (1+ 2 2 3) (a 2+2 b2)

(2) もう一つの定積分を次式で定める.

J( a,b) = 0π( asin θ2 +b) sin θ2 sin θ

このとき,

I( a,b) -J( a,b) =(a+ pb- 12 ) 2+q b2- 14

が成り立つような有理数 p q の値を求めよ.

(3)  a b がともに整数ならば, I( a,b) J( a,b ) となることを示せ.また,等式が成り立つような整数の組 ( a,b ) をすべて求めよ.

2009 浜松医科大学 前期

医学科

【2】〜【4】から2題選択

配点60点

易□ 並□ 難□

【4】 自然数 n に対し,関数 f n( x)= xn e-x 0x< を定める. limx fn (x) =0 であることを必要ならば利用して,以下の問いに答えよ.

(1) 関数 f n( x) の最大値を M n とする.次の等式が成り立つことを示せ.

log( M n+1 Mn )= nn +1 logx dx n=1 2 3

(2) 座標平面上の曲線 C |y |=x 4e -x 0x< を考える. x0 >0 として, C 上の点 ( x0, y0 ) における C の接線の方程式を求めよ.また,これら C の接線の中で, y 切片が M4 に一致するのは全部で何本あるか.

(3)  k は正の実数である.双曲線 y =k x C の共有点は何個あるか, k の値によって分類せよ.

inserted by FC2 system