2009 滋賀大学 前期

Mathematics

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2009 滋賀大学 前期

経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【1】  k を定数とする.円 C x2 -4x +y2 -6y +1=0 と直線 l 1x+ 3y- k=0 について,次の問いに答えよ.

(1)  C の中心 P を通り, l1 に垂直な直線 l2 の方程式を求めよ.

(2)  l1 l 2 の交点 H の座標を k を用いて表せ.また, P H の距離を k を用いて表せ.

(3)  C l 1 が異なる 2 A B で交わり,線分 AB の長さが C の半径に等しいとき, k の値と ▵PAB の内接円の半径を求めよ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【2】  O (0 ,0 ) P0 (6 ,0) Q0 (6 ,3) を頂点とする ▵O P0 Q0 において,辺 O P0 O Q0 P0 Q0 上にそれぞれ点 P1 Q1 R1 をとり,四角形 P0 P1 Q1 R1 が正方形になるようにする.そのとき,点 Q1 の座標を ( a1, b1 ) 正方形 P0 P1 Q1 R1 の面積を m 1 とおく.

 次に ▵O P1 Q1 において,辺 O P1 O Q1 P1 Q1 上にそれぞれ点 P2 Q2 R2 をとり,四角形 P1 P2 Q2 R2 が正方形になるようにする.そのとき,点 Q2 の座標を ( a2, b2 ) 正方形 P1 P2 Q2 R2 の面積を m 2 とおく.

 これをくり返し,正方形 Pk- 1P kQ kR k を作り,点 Q k の座標を ( ak, bk ) 正方形 Pk- 1P kQ kR k の面積を m k とおく.ただし, k=1 2 である.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  as bk mk をそれぞれ k を用いて表せ.

(2)  n を自然数として, Sk= k=1 nm k とおく.このとき, Sn ▵O P0 Q0 の面積の 34 倍以上になる n のうち,最小のものを求めよ.

(3)  Sn n の値によらず, ▵OP 0Q 0 の面積の 45 倍より小さいことを示せ.

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易□ 並□ 難□

【3】  A B 2 人があるゲームをくり返し行い,先に 4 勝した方を優勝とする. 1 回ごとのゲームで A が勝つ確率が 13 B が勝つ確率が 23 のとき,次の問いに答えよ.

(1) ちょうど 6 回目のゲームで A が優勝する確率を求めよ.

(2)  A が優勝する確率を求めよ.

(3) どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数の期待値を求めよ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【4】  x-1 のとき,関数 f (x ) f (x )= xx +1 |t 2-1 | dt で定める.このとき, y=f (x ) の極値を求め,グラフをかけ.

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