2009 京都府立医科大学 前期

Mathematics

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2009 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1) 整数からなる公差 1 の等差数列 a b c d

a3+ b3+ c3= d3

をみたすものを求めよ.

(2)  0 でない整数からなる等比数列 a b c d

a3+ b3+ c3= d3

をみたすものは存在しないことを示せ.

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易□ 並□ 難□

【2】  a を正の定数とする.曲線 y =1 x x>0 C 1 とし,曲線 y =- ax x0 C 2 とする.曲線 C 1 上の点 P から曲線 C 2 2 本の接線を引き,それぞれの接点を Q R とする. ▵PQR の重心を G とする.

(1) 点 P が曲線 C 1 上を動くとき,重心 G が定点となるような a の値を求めよ.

 以下では a は(1)で求めた値とする.

(2) 点 P が曲線 C 1 上を動くとき,内積 GQ GR の取る値の範囲を求めよ.

(3)  θ=∠QGR とおく.点 P が曲線 C 1 上を動くとき, θ の最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 曲線 C y=x e- x について以下の問いに答えよ.

(1) 曲線 C の接線で点 ( 1,a ) を通るものがちょうど 2 本存在するような a の値をすべて求めよ.

(2) (1)で求めた a のうち最大のものを a 0 とする.点 ( 1,a0 ) を通る曲線 C の接線のうち,傾きが負になるものを l とするとき,曲線 C と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  xy z 空間において,原点 O を中心とする x y 平面内の半径 1 の円周 K を考える. n 3 以上の整数とする. K n 等分点 P k (cos 2 πk n, sin 2π kn ,0 ) k=1 2 n をとる. P1 P2 Pn を中心とする x y 平面内の半径 s の円を順に L1 L2 Ln とする.ただし, L1 L2 L2 L3 Ln- 1 L n Ln L 1 は互いに外接しているとする.

(1) 半径 s n を用いて表せ.

 次に, L1 L2 Ln を底面とした同じ高さ h n 個の円錐を考え,順に A1 A2 An とおく.ただし, A1 A2 An の頂点の z 座標はいずれも正とする. A1 A2 An のすべての頂点を通る円周を K とする. K を周に持つ円を底面とし, Z (0 ,0.z ) z<0 を頂点とする円錐で A1 A2 An のそれぞれと側面で接するものを B とする.このとき, B に外接する球面 S K および Z B と共有する球面)が L1 L2 Ln のそれぞれと一点のみを共有するように h を定める.

(2)  S L n の共有点を Qn とおくとき,線分 Qn Z の長さは 2 であることを示せ.

(3)  h s を用いて表せ.

(4)  n 個の円錐 A1 A2 An の体積の和を V とするとき,極限値 limn Vs2 を求めよ.

(注)  2 つの円錐が側面で接するとは, 2 つの円錐の側面の共通部分がただ一つの線分となることである.

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