2009 和歌山県立医科大学 前期

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2009 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 座標空間において, 3 A (0,0, 2) B (2,0, 0) C (0,4, 0) をとる.点 (0 ,0,1 ) を中心とする半径 1 の球面を S とする.球面 S と直線 AB との交点のうち A でないものを D とし,球面 S と直線 AC との交点のうち A でないものを E とする. ∠AED α とするとき, sinα を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  θ 0<θ <π の範囲にある実数とする. xy 平面上の点 (2 cos θ+π2 ,2sin θ +π2 ) を中心とする半径 2 の円を C1 とし,点 (cos θ,sin θ) を中心とする半径 1 の円を C2 とする.円 C1 x 軸の 2 つの交点および円 C1 の中心がなす三角形の面積を S1 とする.円 C2 x 軸の 2 つの交点および円 C2 の中心がなす三角形の面積を S2 とする.ただし, θ= π2 のときは S2 =0 とする. θ を動かしたとき, S1+S 2 の最大値を求めよ.また,そのときの cos θ の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  n 4 以上の自然数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  0<x< 13 (n-3 ) のとき,不等式

(1+ x)n- 1<1+ (n-1) x+ 3(n -1) (n-2 )4 x2

を示せ.必要なら, (1+ 1l )l< ( 32) 3 l =1 2 3 であることを証明なしに用いてよい.

(2)  0<x< 13 (n3 ) のとき,不等式

(1+ x)n< 1+nx+ n (n-1 )2 x2+ n (n-1 )( n-2) 4 x3

を示せ.

(3)  1.0135 を小数で表したときの小数第 2 位までを求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 正方形の頂点を順に A B C D とし,この順を正の向きとし,逆を負の向きとする.動点 P は常に頂点にあり, 1 秒ごとに次の頂点に移っていく.このとき,正の向きに次の頂点に移る確率は 23 で,逆の負の向きに次の頂点に移る確率は 13 とする.また,動点 P は最初頂点 A にあるものとする.

(1)  2 秒後に動点 P が頂点 A C にある確率をそれぞれ求めよ.

(2)  3 秒後に動点 P が頂点 B D にある確率をそれぞれ求めよ.

(3)  4 以上の自然数 n に対して, n 秒後に動点 P が各頂点にある確率をそれぞれ求めよ.

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