2010　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IA MathJax

【１】

［１］　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}$とする．$\alpha$の分母を有理化すると

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

となる．

　$2$次方程式$6x^2-7x+1=0$の解は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$

である．

　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$の数のうち最も小さいものは$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

［２］　$n$を整数とし，$x$の連立不等式

$\{\begin{array}{ll}6x^2-11nx+3n^2\leqq 0& \cdots \text{①}\\ |3x-2n|\geqq 2& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

　$\text{①}$の左辺は

$6x^2-11nx+3n^2$$=(\boxed{\text{ケ}}x-n)(\boxed{\text{コ}}x-\boxed{\text{サ}}n)$

と因数分解される．

　$x=1$が$\text{①}$を満たすような整数$n$の範囲は

$\boxed{\text{シ}}\leqq n\leqq \boxed{\text{ス}}$

である．

　$x=1$が$\text{②}$を満たすような整数$n$の範囲は

$n\leqq \boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}\leqq n$

である．

　よって，$x=1$が上の連立不等式を満たすとき，$n=\boxed{\text{タ}}$である．

　$n=\boxed{\text{タ}}$のとき，連立不等式の解は

$\boxed{\text{チ}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$x$の二つの$2$次関数

$y=3x^2-2x-1$$\cdots \text{①}$

$y=x^2+2ax+b$$\cdots \text{②}$

のグラフをそれぞれ$G_1\text{，}$$G_2$とする．

　以下では，$G_2$の頂点は$G_1$上にあるとする．

　このとき

$b=\boxed{\text{ア}}{a}^2+\boxed{\text{イ}}a-\boxed{\text{ウ}}$

であり，$G_2$の頂点の座標を$a$を用いて表すと

$(-a,\boxed{\text{エ}}{a}^2+2a-\boxed{\text{オ}})$

となる．

(1)　$G_2$の頂点の$y$座標は，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき，最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$をとる．$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき，$G_2$の軸は直線$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であり，$G_2$と$x$軸との交点の$x$座標は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}\pm \boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

(2)　$G_2$が点$(0,5)$を通るとき，$a=\boxed{\text{ツ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

　$a=\boxed{\text{ツ}}$のとき，$G_2$を$x$軸方向に$\boxed{\text{ニ}}\text{，}$軸方向にも同じく$\boxed{\text{ニ}}$だけ平行移動しても頂点は$G_1$上にある．ただし，$\boxed{\text{ニ}}$は$0$でない数とする．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{13}\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{10}$とする．

　このとき

$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$

である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(1)　円$O$を$▵\mathrm{ABC}$の外接円とする．円$O$の点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{S}$を$\angle \mathrm{BAS}=45°$となるようにとる．また，円$O$の点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{T}$を$\angle \mathrm{BCT}=45°$となるようにとる．

　このとき，$\angle \mathrm{SCT}=\boxed{\text{コサ}}°$であり，$\mathrm{ST}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．また，$\mathrm{BT}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$を底面とし$\mathrm{P}$を頂点とする三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{PABC}$を考える．$3$辺$\mathrm{PA}\text{，}$$\mathrm{PB}\text{，}$$\mathrm{PC}$が互いに直交しているとき

$\mathrm{PA}=\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\mathrm{PB}=\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\mathrm{PC}=\boxed{\text{ニ}}$

である．また，点$\mathrm{P}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【４】　$m\text{，}$$n$を自然数とし，$1<m<n$とする．

$\alpha =\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\text{，}$$\beta =\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

とおく．さらに

$S=\alpha \beta +{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}+{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\alpha \beta }}$

とおく．

(1)　$m=3\text{，}$$n=6$のとき

$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}$$\beta +{\displaystyle \frac{1}{\beta }}=\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

であり， $S=\boxed{\text{オカ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

(2)　$S=8\sqrt{3}$ならば，$mn=\boxed{\text{クケ}}$である．このとき

$m=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{サ}}$

または

$m=\boxed{\text{シ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{ス}}$

である．ただし，$\boxed{\text{コ}}<\boxed{\text{シ}}$とする．

(3)　等式

${\alpha }^2{\beta }^2+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2{\beta }^2}}=500$

が成り立つのは，$m=\boxed{\text{セ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{ソタ}}$のときである．

【１】

〔２〕　次の$\boxed{\text{ケ}}\text{〜}$$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．また，$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{4}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

　自然数$n$に関する条件$\mathrm{p}\text{，}$$\mathrm{q}\text{，}$$\mathrm{r}\text{，}$$\mathrm{s}$を次のように定める．

$\mathrm{p}\text{：}n$は$5$で割ると$1$余る数である

$\mathrm{q}\text{：}n$は$10$で割ると$1$余る数である

$\mathrm{r}\text{：}n$は奇数である

$\mathrm{s}\text{：}n$は$2$より大きい素数である

　また，条件$\mathrm{r}$の否定を$\bar{\mathrm{r}}\text{，}$条件$\mathrm{s}$の否定を$\bar{\mathrm{s}}$で表す．このとき

「$\mathrm{p}$かつ$\mathrm{r}$」は$\mathrm{q}$であるための$\boxed{\text{ケ}}$．

$\bar{\mathrm{r}}$は$\bar{\mathrm{s}}$であるための$\boxed{\text{コ}}$．

「$\mathrm{p}$かつ$\mathrm{s}$」は「$\mathrm{q}$かつ$\mathrm{s}$」であるための$\boxed{\text{サ}}$．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件でない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件でない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

　自然数全体の集合を全体集合$\mathrm{U}$とし，条件$\mathrm{p}$を満たす自然数全体の集合を$\mathrm{P}\text{，}$条件$\mathrm{r}$を満たす自然数全体の集合を$\mathrm{R}\text{，}$条件$\mathrm{s}$を満たす自然数全体の集合を$\mathrm{S}$とすると，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の関係を表す図は$\boxed{\text{シ}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CA}=5$である直角三角形とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$とし，円$O$が$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{OP}=\mathrm{OR}=\boxed{\text{ア}}$である．また，$\mathrm{QR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であり，$\sin \angle \mathrm{QPR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(2)　円$O$と線分$\mathrm{AP}$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{S}$とする．このとき，$\mathrm{AP}=\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}$であり，$\mathrm{SP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．また，点$\mathrm{S}$から辺$\mathrm{BC}$へ垂線を下ろし，垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき

$\mathrm{HP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$\mathrm{SH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．したがって，$\tan \angle \mathrm{BCS}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(3)　円$O$上に点$\mathrm{T}$を線分$\mathrm{RT}$が円$O$の直径となるようにとる．このとき，$\tan \angle \mathrm{BCT}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．よって，$\angle \mathrm{RSC}=\boxed{\text{ニヌ}}°$であり，$\angle \mathrm{PSC}=\boxed{\text{ネノ}}°$である．

【４】　袋の中に赤玉$5$個，白玉$5$個，黒玉$1$個の合計$11$個の玉が入っている．赤玉と白玉にはそれぞれ$1$から$5$までの数字が一つずつ書かれており，黒玉には何も書かれていない．なお，同じ色の玉には同じ数字は書かれていない．この袋から同時に$5$個の玉を取り出す．

　$5$個の玉の取り出し方は$\boxed{\text{アイウ}}$ 通りある．

　取り出した$5$個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が$2$組あれば得点は$2$点，$1$組だけあれば得点は$1$点，$1$組もなければ得点は$0$点とする．

(1)　得点が$0$点となる取り出し方のうち，黒玉が含まれているのは$\boxed{\text{エオ}}$通りであり，黒玉が含まれていないのは$\boxed{\text{カキ}}$通りである．

　得点が$1$点となる取り出し方のうち，黒玉が含まれているのは$\boxed{\text{クケコ}}$通りであり，黒玉が含まれていないのは$\boxed{\text{サシス}}$通りである．

(2)　得点が$1$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$であり，$2$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

　また，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$である．