2010 旭川医科大学 前期

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2010 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

問1 整数を係数とする n 次方程式

f(x )=a0 xn +a1 x n-1 +a2 xn -2+ +a n-1 x+a n=0

が有理数の解 βα α β は互いに素な整数とする)をもつとき, α a0 の約数であり β an の約数であることを示せ.

問2 素数 p に対して,

x+y+ z= p3 x y+y z+z x= 1p x yz =1 p3

を満たす x y z がすべて正の有理数であるとき, p および x y z を求めよ.

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【2】  α>1 とする. 0<t< π α-1 となる t に対して, xy 平面上の点 P (cos t,sin t) と点 Q (cos αt, sinα t) を通る直線を lt とする.次の問いに答えよ.

問1 直線 lt の方程式を

f(t )x+ g(t )y= h(t )

とする. h(t )=-sin (α- 1)t のとき, f(t )g (t) を求めよ.

問2 行列 ( f( t)g (t) f (t) g (t) ) は逆行列をもつことを示せ.

問3  x(t )y (t)

( f( t)g (t) f (t) g (t) ) ( x(t )y (t) )= ( h(t )h ( t) )

を満たすものとし,点 R( x(t ),y (t)) が描く曲線を C とする.このとき,点 R は直線 lt 上にあり,曲線 C の点 R における接線は lt と一致することを示せ.

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【3】 関数 f (x)= sinx (- π2 x π2 ) の逆関数を g (x ) -1x 1 とおくとき,次の問いに答えよ.

問1  -1<x <1 のとき, g (x) x を用いて表せ.

問2 曲線 y= sin2 x 0 xπ と直線 y= t 0< t<1 2 つの交点の x 座標を,それぞれ α β α<β とおくとき, αβ sin2 xd x t と関数 g を用いて表せ.

問3  h(t )= 2π αβ sin2 xd x-1- t2 0 <t<1 とおくとき, h( t)<0 0< t<1 を示し h (t) を最小にする t の値を求めよ.

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【4】 次の問いに答えよ.

問1 関数 f (x)= 1 -cosx x2 について,次の問いに答えよ.

(1)  limx 0 f(x ) を求めよ.

(2) 区間 0< x<π f (x ) の増加減少を調べよ.

問2 三角形 ABC において, A B の大きさをそれぞれ α β とし,それらの角の対辺の長さをそれぞれ a b で表す. 0<α <β< π のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.

b 2a2 < 1 -cosβ 1-cos α < β2 α2

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