2010 浜松医科大学 前期医学部

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2010 浜松医科大学 前期

医学科

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 平行六面体 ABCD EFGH において AD 2 :1 に内分する点を M FG 3 :2 に内分する点を N とする.対角線 AG と平面 HMN との交点を P とする.

  AB =a AD = b AE =c とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  AH HM HN それぞれを a b c を用いて表せ.

(2)  AP a b c を用いて表せ.

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医学科

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  3 次関数 f( x)= x3 -3a x2 a>0 と,曲線 C y= f( x) -<x < を考える.以下の問いに答えよ.

(1)  y= f( x) の変曲点における接線の式を求めよ.

(2) 曲線 C はこの変曲点に関して対称であることを示せ.

(3)  b c は実数とする. 3 次方程式 x3- 3a x2= bx- c 3 つの解をもち,それらの解が等差数列をなすとき, c a b の式で表せ.

(4) (3)において,等差数列の公差が 2 3 に等しいとする.このとき, 3 次関数 f( x)- bx+ c の極値を求めよ.

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医学科

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上に P0 ( 1,0 ) を取る. P0 を通り y 軸と平行な直線と曲線 C y= 5 x+3 x+3 との交点を P1 ( x1, y1 ) とする.次に, P1 を通り y 軸に平行な直線と直線 l y=x との交点を P2 ( x2, y2 ) とする.さらに, P2 を通り y 軸と平行な直線と C との交点を P3 ( x3, y3 ) とし, P3 を通り x 軸に平行な直線と直線 l との交点を P4 ( x4, y4 ) とする.以下この操作を続けて点列 P5 ( x5, y5 ) P 6( x6, y6 ) Pn ( xn, yn ) を定める.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C のグラフを描け.また,その漸近線を求めよ.

(2)  zn= x2 n-1 -3 x2n -1+ 1 n= 1 2 3 とおくとき, z n+1 zn を求めよ.

(3) 数列 { zn } はどのような数列か.また,その一般項 z n を求めよ.

(4) 数列 { xn } の一般項 x n を求めよ.さらに,極限 limx xn を求めよ.

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医学科

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 ある感染症の対策について考える.感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり,感染拡大は自然にはその感染症の感染力と,致死性によって予測される.感染経路は,飛沫,接触,飲食などいろいろあり,感染力の制御,つまり感染を広げないために,ワクチン開発はもちろんであるが,外出規制(イベントの自粛や学級閉鎖など),手洗い呼びかけ,などが有効である.

 ここでは簡単のために, 1 つの感染症のみを考え,ある一定の集団(たとえば 1000 人程度の島)を対象とし,外部との接触,出入りがないと仮定する.最初の時点での過去感染者,未感染者,現在感染者の割合をそれぞれ x0 y 0 z 0 とする.現在感染者は 1 か月後にはすべて過去感染者となり,一度感染した人はもう感染しない.また幸いなことにこの感染により死者は生じず,また簡単のために他要因による死者,あるいは出生,転入出もないとする.

  1 か月ごとの変動を見ることとし, i か月後の時点の上記の割合をそれぞれ, xi yi zi で示す.症状は丁度 1 か月続くので,一人の人が現在感染者として数えられるのは 1 回のみである.

 過去感染者は,それまでの過去感染者に, 1 か月前の現在感染者を足したものである.また,現在感染者は, 1 か月前の未感染者と 1 か月前の現在感染者の接触頻度と,この感染症の感染力によって決まる.接触頻度の係数を a 感染力の係数を b とすると,現在感染者の割合は 1 か月前の現在感染者の割合,未感染者の割合, a b 4 つをかけたもので求められる.

  x0 =0 y 0=0.9 z0 =0.1 として,以下の問いに答えよ.計算は小数点以下第 4 位を四捨五入して求めよ.

(1)  xi yi zi を, xi -1 yi -1 zi -1 a b で表せ.

(2)  a=1 b=1 として, x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 をそれぞれ求めよ.

(3)  a=1 感染力の係数 b 2 とした時の, x1 x2 x3 を求めよ.

(4) 手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして, a=0.5 b=1 とした時の, x1 x2 x3 を求め,(2),(3)の結果と共に,縦軸を過去感染者の割合,横軸を時間として, 3 つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ.

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