2010 岩手県立大学 後期

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2010 岩手県立大学 後期

ソフトウエア情報学部

【2】〜【5】から2題選択

易□ 並□ 難□

【2】 次の文章を読んで,あとの問いに答えなさい.

 正の整数 n >0 に対する命題,

2n> n

を考える.

[設問1] 式 の命題が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい.

[設問2] 式 の命題が成り立つことを二項定理 ( x+y) n= k =0n Cn n xk yn -k を用いて証明しなさい.

[設問3] 正の整数 n >0 に対する次の命題

2n n2

が成り立つかどうかを調べ,成り立つ場合はその証明を,成り立たない場合はその理由を示しなさい.

2010 岩手県立大学 後期

ソフトウエア情報学部

【2】〜【5】から2題選択

易□ 並□ 難□

【3】 次の文章を読んで,あとの問いに答えなさい.

  2 つの直線,

l0 y=a x

l2 y=b x

を考える.ただし, a>b> 0 であり, l0 上の点 P0 x 座標を x 0 とする.

 点 P0 を通る y 軸に平行な直線と l 1 との交点を P1 P1 を通る x 軸に平行な直線と l 0 との交点を P2 とする.以下,同様に,点 P2 n を通る y 軸に平行な直線と l 1 との交点を P2 n+1 P2 n+1 を通る x 軸に平行な直線と l 0 との交点を P2 n+2 n 0 n は整数)とする.また, vn = Pn P n+1 とする.

[設問1]  v0 v 1 の成分をそれぞれ答えなさい.解答にあたっては途中の式も書きなさい.

[設問2] 点 P2 n P 2n+ 1 の座標をそれぞれ答えなさい.解答にあたっては途中の式も書きなさい.

[設問3]  v2 n v2 n+1 の成分をそれぞれ答えなさい.解答にあたっては途中の式も書きなさい.

2010 岩手県立大学 後期

ソフトウエア情報学部

【2】〜【5】から2題選択

易□ 並□ 難□

【4】 次の文章を読んで,あとの問いに答えなさい.

  y=2 x+4 -5× 4x 0 x1 の最大値と最小値を求めたい.ここで, 2x= T とする.

[設問1]  y T の式で表しなさい.

[設問2]  x の範囲が 0 x1 のとき, T がとる値の範囲を答えなさい.解答にあたっては途中の式も書きなさい.

[設問3]  y の最大値と最小値,およびその時の x の値を答えなさい.解答にあたっては途中の式も書きなさい.

2010 岩手県立大学 後期

ソフトウエア情報学部

【2】〜【5】から2題選択

易□ 並□ 難□

【5】 次の文章を読んで,あとの設問に答えなさい.

 与えられた自然数 N が素数かどうかを判定する方法の 1 つに, 2 からその自然数までの自然数で割り切れるかどうか,試しに割ってみるという手法(手法1と呼ぶ)がある.図1は,図2の記号を用いながら手法1に従って作成した流れ図である.ただし, N には 2 以上の自然数を入力することとする.

2010年岩手県立大後期【5】2010110610204の図

図1 素数判定の流れ図(手法1)



記号 意味
2010年岩手県立大後期【5】2010110610204の図 端子(始めと終わり)
2010年岩手県立大後期【5】2010110610204の図 処理
2010年岩手県立大後期【5】2010110610204の図 判断
2010年岩手県立大後期【5】2010110610204の図 入出力

手順の流れは原則として「上から下へ」進む.

X Y 」は「 X Y の値を代入する」を表す.

図2 流れ図の記号

[設問1] 図1の空欄 にあてはまる文や式をそれぞれ答なさい.

[設問2] 以下の素数の性質(a)〜(c)を用いて手法1を改良した手法2を考案した.その流れ図を図3に示す.

(a)  2 は素数である.

(b) 以外の偶数は素数ではない.

(c)  N が奇数のとき, 3I N を満たす全ての自然数 I で, N が割り切れなければ, N は素数である.

このとき,空欄 にあてはまる文や式をそれぞれ答え,この流れ図を完成させなさい.ただし,空欄 には[設問1]の答えがあてはまるものとする.

[設問3] 手法1と手法2の計算にかかる手間を考える.図1と図3に共通して含まれている空欄 に着目し,入力 N に対するこの空欄 の実行回数の変化を調べることにする.入力 N 8 から 11 まで 1 つずつ変化させた時,手法1と手法2,それぞれにおける空欄 の実行回数を,表の形に整理して答えなさい.また,その結果を基にして手法1と手法2を比較し,計算にかかる手間の観点からどちらが優れているかをその理由とともに答えなさい.

2010年岩手県立大後期【5】2010110610204の図

図1 素数判定の流れ図(手法2)

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