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2010 岩手県立大学 推薦

ソフトウエア情報学部

総合思考力試験A,B共通

易□ 並□ 難□

【2】 次の文章を読んで,あとの問いに答えなさい.

 色々な計算をするとき,円周率 π 3.14 として計算することが多いのですが,実際の π は無理数であり, 3.14159 と無限に続く数になります. π を認める計算方法はさまざまにあり,古代ギリシャの数学者アルキメデスは次のような性質を利用して π を求めようとしました.

・円周率を π とすると,半径 1 の円周は 2 π であり,これは円に内接する正 n 角形の周囲の長さ l よりも長く,円に外接する正 n 角形の周囲の長さ L よりも短い.

2010年岩手県立大垂線総合思考力試験AB【2】201011610301の図2010年岩手県立大垂線総合思考力試験AB【2】201011610301の図

図1 円に内・外接する正 n 角形( n =4

 では,この半径 1 の円に内・外接する正 n 角形の周囲の長さの性質に基づいて π を求めてみましょう.

 図1は, n=4 の場合ですが,円周が内接する正方形の周囲の長さより長く,外接する正方形の周囲の長さより短いことは一目で分かるでしょう.実際に n =4 として内・外接する正方形の周囲の長さを計算してみると,それぞれ, l=2× L=2× となりますから,

<π<

となり, π はこの範囲内にあることがわかります.

 次に n を増やして,図2のように n =6 で計算をしてみましょう.内接する正六角形はちょうど一辺が 1 の正三角形を 6 個組み合わせた図形になるので, l= となります.また, L= となりますから,

<π<

の範囲に π があることがわかります.これはすなわち, π の整数の部分は 3 であるということを意味します.

 以上のことから, n を大きくすればするほど, l L の差が小さくなり,正確な π に近づいていくことが想像できます.

2010年岩手県立大垂線総合思考力試験AB【2】201011610301の図2010年岩手県立大垂線総合思考力試験AB【2】201011610301の図

図2 円に内・外接する正 6 角形

 では,正 n 角形の場合, l L はどのように計算すれば良いでしょうか.隣り合う頂点と,内接する円の中心とのなす角を θ とすると, l は図3のような三角形 OAB の辺 c n 倍した長さ,つまり, l=c× n になります.辺 c の長さは余弦定理

c2 =a2 +b2 -2a bcos θ

から求めることができますから, l n cos θ のみを用いて表すと,

l=

となります.

2010年岩手県立大垂線総合思考力試験AB【2】201011610301の図

図3 円に内接する正 n 角形

 次に, L l の式で表すことができます.図4の右側のように,内接する二等辺三角形 OAB と外接する二等辺三角形 OCD は相似ですから, AB:CD= OE:OF の関係が成り立ちます.このことから, L l cos θ2 を用いて

L=

と表すことができます.これに, 式を代入すると,

L=

のように, n cos θ cos θ2 を用いて表せます.

 さらに θ n を用いて表すことができるので,正 n 角形を用いて計算された π の範囲は,結局は n のみを用いて,

<π<

となります.

 このようにして,アルキメデスは n =96 から, 223 71<π <22 7 を求め,円周率 π の小数点以下第 2 位までの値が 3.14 であることを示しました.

2010年岩手県立大垂線総合思考力試験AB【2】201011610301の図

図4 円に内接する正 n 角形と外接する正 n 角形の関係

[問1] 文章中の から にあてはまる値もしくは式をそれぞれ答えなさい.

[問2] 三角形のそれぞれの角が鋭角であるとき,式 の余弦定理が成り立つことを証明しなさい.

[問3]  n=60 とした場合, π の小数点以下第 2 位までの値が 3.14 であることを示しなさい.必要であれば以下の表を用いてもよい.

表1  cosθ の表

θ cosθ θ cosθ θ cosθ
1 ° 0.99985 11 ° 0.98163 21 ° 0.93358
2 ° 0.99939 12 ° 0.97815 22 ° 0.92718
3 ° 0.99863 13 ° 0.97437 23 ° 0.92050
4 ° 0.99756 14 ° 0.97030 24 ° 0.91355
5 ° 0.99619 15 ° 0.96593 25 ° 0.90631
6 ° 0.99452 16 ° 0.96126 26 ° 0.89879
7 ° 0.99255 17 ° 0.95630 27 ° 0.89101
8 ° 0.99027 18 ° 0.95106 28 ° 0.88295
9 ° 0.98769 19 ° 0.94552 29 ° 0.87462
10 ° 0.98481 20 ° 0.93969 30 ° 0.86603

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ソフトウエア情報学部

総合思考力試験A

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問1] 次の方程式を解きなさい.

x3- 4x2 +4x -1=0

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ソフトウエア情報学部

総合思考力試験A

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問2] 中心が点 ( 1,-2 ) 半径が 3 の円の方程式を求めなさい.

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ソフトウエア情報学部

総合思考力試験A

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問3] 次の式を簡単にしなさい.

log2 15- 12 log 225

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総合思考力試験A

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問4] 関数 f (x )=x 2+3 x-5 について, x=2 における微分係数を求めなさい.

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ソフトウエア情報学部

総合思考力試験A

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問5]  n が自然数のとき,次の式が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明しなさい.

1+3+ 5++ (2 n-1) =n2

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ソフトウエア情報学部

総合思考力試験B

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問1] 次の式を因数分解しなさい.

3x 2-x- 2

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ソフトウエア情報学部

総合思考力試験B

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問2] 次の 2 次方程式を解きなさい.

2x 2=4 (x+ 1)

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ソフトウエア情報学部

総合思考力試験B

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問3] 次の 2 次関数のグラフの頂点の座標を求めなさい.

y=3 x2- 12x+ 18

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総合思考力試験B

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

[問4]  m 本の平行線が,これらの平行線とは平行でない他の n 本の平行線と交わってできる平行四辺形の個数を求めなさい.ただし, m 2 n 2 とする.

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総合思考力試験B

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いにそれぞれ答えなさい.また,途中の式も省略せずに記入しなさい.

2010年岩手県立大垂線総合思考力試験B【3】[問5]2010110610311の図

[問5] 次の図のように円に内接する四角形の対角の和は, 180 ° であることを証明しなさい.



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