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2010 滋賀県立大学 前期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a b c d を成分とする行列 A =( ab cd ) の表す 1 次変換によって,点 P ( 1,0 ) は点 Q ( 0,-2 ) に移され, Q は点 R ( 1,1 ) に移されるとする.また,行列 B =k( cos θ-sin θ sinθ cosθ ) とおくとき, B2 の表す 1 次変換によって P Q に移されるとする.ただし, k は正の実数とし, 0 ° θ 180 ° とする.

(1)  A を求めよ.

(2)  θ k を求めよ.

(3)  AB 3 の表す 1 次変換による点 ( 0,1 ) の像を求めよ.

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工,環境科学部

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【2】 座標平面の原点 O を中心とする半径 r の円を C とする. C 上の 2 P1 P2 を原点に関して対称な位置にとる.また,点 Q を平面上の任意の点とし, L= QP 12 +Q P2 2 とおく.

(1)  Q を固定したとき, L P1 P2 のとり方に依存せず一定であることを示せ.

(2)  Q が放物線 y =-x2 +5x -8 上を動くとき, L の最小値とそのときの Q の座標を求めよ.

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工,環境科学部

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【3】  a b p q を実数として,未知数 x の方程式

p( x2+ ax+ b)+ x-q= 0 (*)

を考える.

(1)  p がどのような値であっても方程式(*)がつねに実数解をもつためには, a2 -4b 0 が必要条件であることを示せ.

(2)  a2- 4b 0 とし, α β αβ を方程式 x2+a x+b =0 2 つの実数解とする.このとき, p がどのような値であっても方程式(*)がつねに実数解をもつのは q がどのような範囲 R にあるときか答えよ.

(3)  a2 -4b 0 q が(2)で求めた範囲 R にあるとき,方程式(*)は範囲 R に少なくとも 1 つの解をもつことを示せ.

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【4】  a は定数で, 1<a <e とする.曲線 C 1y =x+log x 上に点 P ( a,a+log a) 曲線 C2 y=-log x 上に点 Q ( a,-log a) がある.ただし, e は自然対数の底である.

(1)  P における C 1 の接線を l1 Q における C 2 の接線を l 2 とする.このとき, 3 直線 x =0 l1 l2 で囲まれた部分の面積 S a を用いて表せ.

(2)  C1 3 直線 y =0 x=1 x=a で囲まれた部分を R1 C2 2 直線 y =0 x=a で囲まれた部分を R 2 とする.また R1 R2 x 軸の周りに 1 回転させてできる立体をそれぞれ B1 B2 とする.このとき, B1 から B 2 を除いた部分の体積 V を求めよ.

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