2010 京都府立医科大学 前期

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2010 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  O を原点とする座標平面上の楕円 C x22 +y2 =1 を考える.点 P ( 1,1 2 t) (ただし, t>1 )を通る楕円 C 2 つの接線を l1 l2 とし,それらと楕円との接点をそれぞれ Q R とする.点 Q を通り l 1 と直交する直線を m 1 とし,点 R を通り l 2 と直交する直線を m 2 とする.直線 m 1 m 2 の交点を S とする.ただし, Q x 座標は R x 座標より大きいとする.

(1)  2 Q R の座標を t を用いて表せ.

(2) 点 S の座標を t を用いて表せ.

(3)  t 1 より大きい実数全体を動くとき,点 S の軌跡を求めよ.

(4)  t>2 であるとき, ▵OPS の面積を A (t ) とする. limt A( t)t 2 を求めよ.

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【2】  n 3 以上の整数とする. 1 以上の整数 M n で割ったときの商を M 1 余りを a1 とする.続いて, M1 n で割ったときの商を M2 余りを a 2 とする.このようにして 1 以上の整数 i に対して, Mi n で割ったときの商を Mi+1 余りを a i+1 とおく.このとき Mi=0 となるような i の最小値を k とする.次に, M に対して, a1+ a2+ +ak を対応させる関数を f (M ) と表す.すなわち f (M )= i= 1k ai である.

 たとえば M =53 n=10 のときは, k=3 であり, f( M)= 8 となる.

(1)  M a1 a2 an n を用いて表せ.

(2)  f( M) M であることを示せ.また,等号が成立するための条件を n M を用いて表せ.

(3)  M-f (M ) n -1 で割り切れることを示せ.

 次に, f1 (M )=f (M ) fj (M )=f (f j-1 (M )) j2 により fj (M ) を定める. M に対して, fj (M )<n となるような j の最小値を s とし, fs (M ) の値を R (M ) とおく.

(4)  M n -1 で割り切れるとき, R( M) を求めよ.

(5)  M n -1 で割り切れないとき, R( M) がどのような値となるかを n M を用いて説明せよ.

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【3】  a>0 とし,座標平面上の 2 つの曲線

C1 y=e -x2 4 C2 y=- a4 x2+a (1- loga )

を考える.

(1)  a>1 であるとき, C 1 C 2 は共有点をもたないことを示せ.

(2)  0<a< 1 であるとき, C1 C 2 の共有点の座標を a を用いて表せ.

(3) (2)の場合で,共有点が C 1 の変曲点であるとき, a の値を求めよ.

(4)  a が(3)の値のとき, C1 C 2 で囲まれた部分を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

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【4】(1)  p q 1 <p<q をみたす実数とし, 3 辺の長さが 1 p q の直方体 V を考える.長さ q の辺と垂直な平面で V 2 つに分割して, 3 辺の長さが 1 p 1 の直方体と 3 辺の長さが 1 p q-1 の直方体 U を作る. p q が条件 q -1<1 q=p 2 p( q-1) =1 をみたすならば, V U は相似であることを示せ.

  p q を(1)の条件をみたす実数とし,座標空間の 8

A1 ( 0,0, 0) A 2( 0,1,0 ) A3 ( 0,1,p ) A4 (0, 0,p )

B1 (q, 0,0) B2 (q, 1,0) B3 (q, 1,p) B4 (q ,0,p )

を頂点とする直方体を V 0 とする.点 P 0 P0 =A4 とおく.次に, 1 以上の整数 n に対して,直方体 V n とその頂点 Pn を以下のようにして順に定める.

  k0 とし,直方体 V k とその頂点 Pk が定まったとする.頂点 Pk を含む V k 3 つの面のうち, Vk の最短辺と最長辺とを含む面を考える.この面内で, Pk を頂点として含み,この面の最短辺を 1 辺とする正方形を考える.この正方形の, Pk を端点とする対角線を考え,その対角線の Pk と異なる方の端点を Pk +1 とする. Pk +1 を通り V k の最長辺と垂直な平面で V k を分割し, Pk を含まない方の直方体を V k+1 とする.

(2)  n0 のとき,直方体 V n 3 辺の長さは 1 pn 1 pn- 1 1 1pn -2 であることを示せ.

(3)  P1 P2 P3 P4 P5 P6 の座標を p を用いて表せ.

(4)  P6 n n0 z 座標を z n とするとき, limn z n の値を p を用いて表せ.

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