2010 和歌山県立医科大学 前期

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2010 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  π 12 θ π3 とする.次の問いに答えよ.

(1)  t=tan θ+ 1tanθ とおく. t のとり得る値の範囲を求めよ.

(2)  a を正の定数とする.

y=tan 2θ + 1tan θ- a(tan θ+ 1tan θ )

のとり得る値の範囲を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  A B C のいずれかの状態をとる粒子があり,その状態は次のように変化していく.

(イ) 状態 A であるとき, 1 秒後に状態 A 状態 B である確率はともに 12 である.

(ロ) 状態 B であるとき, 1 秒後に状態 B である確率は 13 であり,状態 C である確率は 23 である.

(ハ) 状態 C となったときは,その後は変化なく C の状態が続く.

 粒子は最初状態 A であるとし, n 秒後に状態 A 状態 B 状態 C である確率をそれぞれ P n Qn Rn とする.次の問いに答えよ.ただし, m m は自然数とする.

(1) Rn を求めよ.

(2) 異なる m n Qm= Qn となることはあるか.

(3)  Pm= Qn となることはあるか.

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易□ 並□ 難□

【3】  2 次の多項式 f (x ) の係数はいずれも負でない整数であり, f( 1)= 15 f( 2)= 33 であるとする.さらに,自然数 n に対して f (1 )+ +f( n) はつねに n で割り切れるものとする.このような f (x ) をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x ) g( x) h( x) k( x) を次のように定める.

f( x)=cos x+( x+1) sinx+ 1

g( x)= (π-x ){ x2-( 2+2π )x+ 1+2π +π2 }

h( x)= g( x)-| g(x )| 2

k( x)= f (x) +|f (x) |2 +h( x)

(1) 関数 f (x ) の値の増減を 0 x 116 π において調べ,グラフの概形をかけ.

(2) 関数 h (x ) の値の増減を 0 x 116 π において調べ,グラフの概形をかけ.

(3)  x 0 x 116 π の範囲を動くとき, k( x) の最大値と最小値,およびそれらをとる x の値を求めよ.

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