2011 大学入試センター試験 本試験 数学II・数学IIBMathJax

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2011 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  - π2 θ 0 のとき,関数

y=cos 2θ +3 sin2 θ-2 3cos θ-2 sinθ

の最小値を求めよう.

  t=sin θ+3 cos θ とおくと

t2= cos2 θ+ sinθ cosθ +

であるから

y=t2 - t-

となる.また

t= sin (θ + π )

である.

  θ+ π のとり得る値の範囲は

- π θ+ π π

であるから, t のとり得る値の範囲は

コサ t

である.したがって, y t= すなわち θ =- π のとき,最小値 ソタ をとる.

2011 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 自然数 x で,条件

12 (log 2 x) 2-7 log4 x- 10>0

x+log3 x< 14

を満たすものを求めよう.

 まず, x を正の実数として,条件 を考える. X= log2 x とおくと

6X 2- X - ツテ >0

となる.この 2 次不等式を解くと

X<- < X

となる.したがって,条件 を満たす最小の自然数 x であり, 以上のすべての自然数 x を満たす.

 次に,条件 について考えると, を満たす最大の自然数 x ノハ であり, ノハ 以下のすべての自然数 x を満たす.

 したがって,求める x 以上 ノハ 以下の自然数である.

2011 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上で,放物線 y= x2 C とする.

 曲線 C 上の点 P x 座標を a とする.点 P における C の接線 l の方程式は

y= アイ x-a

である. a0 のとき直線 l x 軸と交わる点を Q とすると, Q の座標は

( , )

である.

  a>0 のとき,曲線 C と直線 l および x 軸で囲まれた図形の面積を S とすると

S= a クケ

である.

  a<2 のとき,曲線 C と直線 l および直線 x= 2 で囲まれた図形の面積を T とすると

T=- a3 + a2- a+

である.

  a=0 のときは, S=0 a= 2 のときは T= 0 であるとして, 0a 2 に対して U= S+T とおく. a がこの範囲を動くとき, U a = で最大値 をとり, a= で最小値 ナニ をとる.

2011 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  O を原点とする座標平面上に正六角形 OABCDE がある.ただし,頂点は時計の針の回転と逆の向きに O A B C D E の順に並んでいるものとする.また,直線 OA の方程式は y= 3x 直線 BE の方程式は y= 3x+ 2 であるとする.点 A D の座標と正六角形 OABCDE の外接円の方程式を求めよう.

 原点を通り,直線 OA に垂直な直線 l の方程式は

y=- 1 x

であり,直線 CD の方程式は y= x+ である. D l と直線 CD の交点であるから, D の座標は

(- , )

である.

 また, OA:OD= 1: であるから OA= 2 クケ コサ であり, A の座標は

( 2 スセ , 2 )

となる.外接円の中心は線分 AD の中点で,その半径は正六角形 OABCDE 1 辺の長さに等しいから,外接円の方程式は

(x + - スセ ) 2 + (y- + ) 2 = テト

である.

2011 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b は実数で, P(x ) Q (x) はそれぞれ 2 次と 3 次の整式であるとする. Q( x) P (x) で割り切れて,商が x+ a であるとする.このとき

Q(x ) =(x + ) P(x )

が成り立つ.さらに, {P (x)} 2 Q (x) で割ったとき,商が x+ b 余りが P (x) であるとする.このとき

{P( x)} 2=( x+ ) Q(x )+P (x)

が成り立つ.上の二つの等式から

{(P (x)} 2={ (x+ ) (x+ )+ } P(x )

となる.したがって

P(x )=x2 +(a+ ) x+ b+

である.

 方程式 Q (x)= 0 の三つの解を α β γ とする.

  α+β +γ= -5 のとき

b= キク a+

であり,このとき, Q(x )=0 が虚数解をもつような a のとり得る値の範囲は

<a<

である.

 一方, αβ γ= -6 のとき

b= -a+ a

である.

  がともに成り立つとき

a3- a2- a+ =0

であり, を満たす a の値は

ツテ

の三つである.このうち Q (x)= 0 が虚数解をもつような a の値は 個ある.

2011 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 数直線上で点 P に実数 a が対応しているとき, a を点 P の座標といい,座標が a である点 P P (a) で表す.

 数直線上に点 P1 (1 ) P2( 2) をとる.線分 P1 P2 3: 1 に内分する点を P3 とする.一般に,自然数 n に対して,線分 P nP n+1 3: 1 に内分する点を P n+2 とする.点 Pn の座標を xn とする.

  x1= 1 x2= 2 であり, x3= である.数列 {xn } の一般項を求めるために,この数列の階差数列を考えよう.自然数 n に対して y n=x n+1 -xn とする.

y1 = yn+ 1= エオ y n n =1 2 3

である.したがって, yn= ( エオ ) n =1 2 3 であり

xn= - ( エオ ) n=1 2 3

となる.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つずつ選べ.同じものを繰り返し選んでもよい.

 次に,自然数 n に対して Sn= k=1n k| yk | を求めよう. r=| エオ | とおくと

Sn- rSn = k=1 rk- 1-n r n =1 2 3

であり,したがって

Sn = セソ {1 -( 1 ) } - n ( 1 )

となる.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つずつ選べ.同じものを繰り返し選んでもよい.



2011 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

2011年センター試験本試験数学IIB【4】の図

【4】 四角 すい OABCD において,三角形 OBC と三角形 OAD は合同で, OB=1 BC=2 OC=3 であり,底面の四角形 ABCD は長方形である. AB=2 r とおき, OA =a OB =b OC =c とおく.

  OD a b c を用いて表すと OD = - +c である.辺 OD 1: 2 に内分する点を L とすると

AL =- a - b + c

となる.

 さらに辺 OB の中点を M 3 A L M の定める平面を α とし,平面 α と辺 OC との交点を N とする.点 N は平面 α 上にあることから, AN は実数 s t を用いて AN =s AL +t AM と表されるので

ON =( - s-t ) a +( -s + 1 ) b + s c

となる.一方,点 N は辺 OC 上にもある.これらから, ON= c となる.

 また, a b = - r2 b c = a c = ツテ r2 である.よって, AM MN を計算すると, AB= のとき,直線 AM と直線 MN は垂直になることがわかる.

2011 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

番号 1 回戦

(点)
2 回戦

(点)
3 回戦

(点)
1 33 37
2 44 44 D
3 30 34
4 38 35
5 29 30
6 26
7 43 41 43
8 23
9 28
10 34 38 E
11 33 33
12 26
13 36 41 F
14 30 37
15 27
平均値 A 37.0 43.0
範 囲 21 14 7
分 散 35.60 B 6.50
標準偏差 6.0 C 2.5

【5】 次の表は, 3 回行われた 50 点満点のゲームの得点をまとめたものである. 1 回戦のゲームに 15 人の選手が参加し,そのうち得点が上位の 10 人が 2 回戦のゲームに参加した.さらに, 2 回戦のゲームで得点が上位の 4 人が 3 回戦のゲームに参加した.表中の「—」は,そのゲームに参加しなかったことを表している.また,表中の「範囲」は,得点の最大の値から最小の値を引いた差である.なお,ゲームの得点は整数値をとるものとする.

 以下,小数の形で解答する場合,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1)  1 回戦のゲームに参加した 15 人の得点の平均値 A アイ . 点である.そのうち,得点が上位の 10 人の得点の平均値を A1 得点が下位の 5 人の得点の平均値を A 2 とすると, A1 A 2 A の間には関係式

A1 + A 2 =A

が成り立つ.ただし, + =1 とする.

(2)  2 回戦のゲームに参加した 10 人の 2 回戦のゲームの得点について,平均値 37.0 からの偏差の最大値は . 点である.また,分散 B の値は コサ . シス 標準偏差 C の値は . 点である.

(3)  3 回戦のゲームの得点について,大小関係 F <E <43< D が成り立っている.

  D E F の値から平均値 43.0 点を引いた整数値を,それぞれ x y z とおくと, 3 回戦のゲームの得点の平均値が 43.0 点,範囲が 7 点,分散が 6.50 であることから,次の式が成り立つ.

x+y+ z=

x-z=

x2+ y2+ z2= ツテ

 上の連立方程式と条件 z< y<0< x により x y z の値が求まり, D E F の値が,それぞれ トナ 点, ニヌ 点, ネノ 点であることがわかる.

(4)  2 回戦のゲームに参加した 10 人について, 1 回戦のゲームの得点を変量 p 2 回戦のゲームの得点を変量 q で表す.このとき,変量 p と変量 q の相関図(散布図)として適切なものは であり,変量 p と変量 q の間には に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 1
2011年センター試験本試験【5】の図 2011年センター試験本試験【5】の図
2 3
2011年センター試験本試験【5】の図 2011年センター試験本試験【5】の図
 

  に最も適当なものを,次の 0 2 のうちから一つ選べ.

0  正の相関関係がある

1  相関関係はほとんどない

2  負の相関関係がある

階級(%) 人数

(人)
以上 未満
-10 0 2
0 10 G
10 20 H
20 30 1

(5)  2 回戦のゲームに参加した 10 人について,(4)での変量 p q を使って,得点の変化率を表す新しい変量 r を, r= q-p p × 100 (%)で定め,次の度数分布表を作成した.

 表中の G の値は H の値は である.



2011 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】  n 2 以上の自然数とし,以下の操作を考える.

(ⅰ)  n が偶数ならば, n 2 で割る.

(ⅱ)  n が奇数ならば, n 3 倍して 1 を加える.

 与えられた 2 以上の自然数にこの操作を行い,得られた自然数が 1 でなければ,得られた自然数にこの操作を繰り返す. 2 以上 10 5 以下の自然数から始めると,この操作を何回か繰り返すことで必ず 1 が得られることが確かめられる.たとえば, 10 から始めると

105 16 84 2 1

である.ただし, ab 1 回の操作で自然数 a から自然数 b が得られたことを意味する.

  N 2 以上 10 5 以下の自然数とするとき, F(N ) N から始めて 1 が得られるまでの上記の操作の回数と定義する.また, F( 1)=0 とおく.たとえば,上の例から, F( 10)=6 である.

(1)  F(6 )= F(11 )= イウ である.

(2)  105 以下の自然数 N について, F(N ) を求めるため,次のような〔プログラム〕を作った.ただし,INT(X) X を超えない最大の整数を表す関数である.

〔プログラム〕

100 NPUT N

110 LET I = N

120 LET C = 0

130 IF I = 1 THEN GOTO

140 IF INT(I/2)*2 = I THEN

150   

160   GOTO 190

170 END IF

180 LET I = 3*I + 1

190

200

210 PRINT "F(";N;")=";C

220 END

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 8 のうちからそれぞれ一つずつ選べ.

 〔プログラム〕を実行して,N 24 を入力すると,180 行は 回実行される.

(3)  M 105 以下の自然数とする.(2)で作成した〔プログラム〕を変更して, M 以下の自然数 N のうち, F( N)10 となるすべての N について, F( N) の値を出力するプログラムを作成する.そのために,まず,〔プログラム〕の 100 行を次の二つの行で置き換える.

100 INPUT M

101 FOR N = 1 TO M

 さらに,210 行を次の二つの行で置き換える.

210 IF THEN PRINT "F(";N;")=";C

211

  にあてはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  にあてはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

 変更後のプログラムを実行して,M 10 を入力すると,210 行の PRINT 文は 回実行される.

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