2011　大学入試センター試験　本試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

［１］　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq 0$のとき，関数

$y=\cos 2\theta +\sqrt{3}\sin 2\theta -2\sqrt{3}\cos \theta -2\sin \theta$

の最小値を求めよう．

　$t=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$とおくと

$t^2=\boxed{\text{ア}}{\cos }^2\theta +\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\sin \theta \cos \theta +\boxed{\text{エ}}$

であるから

$y=t^2-\boxed{\text{オ}}t-\boxed{\text{カ}}$

となる．また

$t=\boxed{\text{キ}}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ク}}}})$

である．

　$\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ク}}}}$のとり得る値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ケ}}}}\leqq \theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ク}}}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ク}}}}$

であるから，$t$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{コサ}}\leqq t\leqq \sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．したがって，$y$は$t=\boxed{\text{ス}}\text{，}$すなわち$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{セ}}}}$のとき，最小値$\boxed{\text{ソタ}}$をとる．

【１】

［２］　自然数$x$で，条件

$12{({\log }_2\sqrt{x})}^2-7{\log }_{4}x-10>0$$\cdots \text{①}$

$x+{\log }_{3}x<14\cdots \text{②}$

を満たすものを求めよう．

　まず，$x$を正の実数として，条件$\text{①}$を考える．$\text{①}$は$X={\log }_{2}x$とおくと

$6X^2-\boxed{\text{チ}}X-\boxed{\text{ツテ}}>0$

となる．この$2$次不等式を解くと

$X<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}<X$

となる．したがって，条件$\text{①}$を満たす最小の自然数$x$は$\boxed{\text{ネ}}$であり，$\boxed{\text{ネ}}$以上のすべての自然数$x$は$\text{①}$を満たす．

　次に，条件$\text{②}$について考えると，$\text{②}$を満たす最大の自然数$x$は$\boxed{\text{ノハ}}$であり，$\boxed{\text{ノハ}}$以下のすべての自然数$x$は$\text{②}$を満たす．

　したがって，求める$x$は$\boxed{\text{ネ}}$以上$\boxed{\text{ノハ}}$以下の自然数である．

【２】　座標平面上で，放物線$y=x^2$を$C$とする．

　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{アイ}}x-a^{\boxed{\text{ウ}}}$

である．$a\ne 0$のとき直線$l$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}},\boxed{\text{カ}})$

である．

　$a>0$のとき，曲線$C$と直線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{a^{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$

である．

　$a<2$のとき，曲線$C$と直線$l$および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を$T$とすると

$T=-{\displaystyle \frac{a^3}{\boxed{\text{コ}}}}+\boxed{\text{サ}}{a}^2-\boxed{\text{シ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

　$a=0$のときは，$S=0\text{，}$$a=2$のときは$T=0$であるとして，$0\leqq a\leqq 2$に対して$U=S+T$とおく．$a$がこの範囲を動くとき，$U$は$a=\boxed{\text{ソ}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$をとり，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$で最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナニ}}}}$をとる．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に正六角形$\mathrm{OABCDE}$がある．ただし，頂点は時計の針の回転と逆の向きに$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の順に並んでいるものとする．また，直線$\mathrm{OA}$の方程式は$y=3x\text{，}$直線$\mathrm{BE}$の方程式は$y=3x+2$であるとする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}$の座標と正六角形$\mathrm{OABCDE}$の外接円の方程式を求めよう．

　原点を通り，直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線$l$の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}x$

であり，直線$\mathrm{CD}$の方程式は$y=\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$である．$\mathrm{D}$は$l$と直線$\mathrm{CD}$の交点であるから，$\mathrm{D}$の座標は

$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{オ}}}})$

である．

　また，$\mathrm{OA}:\mathrm{OD}=1:\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$であるから$\mathrm{OA}={\displaystyle \frac{2\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$であり，$\mathrm{A}$の座標は

$({\displaystyle \frac{2\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{スセ}}}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}})$

となる．外接円の中心は線分$\mathrm{AD}$の中点で，その半径は正六角形$\mathrm{OABCDE}$の$1$辺の長さに等しいから，外接円の方程式は

${(x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{スセ}}}})}^2$$+{(y-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}})}^2$$={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$

である．

【４】　$a\text{，}$$b$は実数で，$P(x)$と$Q(x)$はそれぞれ$2$次と$3$次の整式であるとする．$Q(x)$は$P(x)$で割り切れて，商が$x+a$であるとする．このとき

$Q(x)$$=(x+\boxed{\text{ア}})P(x)$

が成り立つ．さらに，${\{P(x)\}}^2$を$Q(x)$で割ったとき，商が$x+b\text{，}$余りが$P(x)$であるとする．このとき

${\{P(x)\}}^2=(x+\boxed{\text{イ}})Q(x)+P(x)$

が成り立つ．上の二つの等式から

${\{(P(x)\}}^2=\{(x+\boxed{\text{ア}})(x+\boxed{\text{イ}})+\boxed{\text{ウ}}\}P(x)$

となる．したがって

$P(x)=x^2+(a+\boxed{\text{エ}})x+\boxed{\text{オ}}b+\boxed{\text{カ}}$

である．

　方程式$Q(x)=0$の三つの解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とする．

　$\alpha +\beta +\gamma =-5$のとき

$b=\boxed{\text{キク}}a+\boxed{\text{ケ}}$$\cdots \text{①}$

であり，このとき，$Q(x)=0$が虚数解をもつような$a$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{コ}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

　一方，$\alpha \beta \gamma =-6$のとき

$b={\displaystyle \frac{-a+\boxed{\text{ス}}}{a^{\boxed{\text{セ}}}}}$$\cdots \text{②}$

である．

　$\text{①}$と$\text{②}$がともに成り立つとき

$\boxed{\text{ソ}}{a}^3-\boxed{\text{タ}}{a}^2-a+\boxed{\text{チ}}=0$$\cdots \text{③}$

であり，$\text{③}$を満たす$a$の値は

$\boxed{\text{ツテ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}$

の三つである．このうち$Q(x)=0$が虚数解をもつような$a$の値は$\boxed{\text{ヌ}}$個ある．

【３】　数直線上で点$\mathrm{P}$に実数$a$が対応しているとき，$a$を点$\mathrm{P}$の座標といい，座標が$a$である点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(a)$で表す．

　数直線上に点${\mathrm{P}}_1(1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(2)$をとる．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を$3:1$に内分する点を${\mathrm{P}}_3$とする．一般に，自然数$n$に対して，線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$を$3:1$に内分する点を${\mathrm{P}}_{n+2}$とする．点${\mathrm{P}}_n$の座標を$x_n$とする．

　$x_1=1\text{，}$$x_2=2$であり，$x_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．数列$\{x_n\}$の一般項を求めるために，この数列の階差数列を考えよう．自然数$n$に対して$y_n=x_{n+1}-x_n$とする．

$y_1=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$y_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{y}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．したがって，$y_n={\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\right)}^{\boxed{\text{キ}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であり

$x_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}})}}^{\boxed{\text{サ}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．ただし，$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$n-1$
• $\overline{)\text{1}}$　$n$
• $\overline{)\text{2}}$　$n+1$
• $\overline{)\text{3}}$　$n+2$

　次に，自然数$n$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k|y_k|$を求めよう．$r=\left|{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\right|$とおくと

$S_n-r{S}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{\boxed{\text{シ}}}}{r}^{k-1}-n{r}^{\boxed{\text{ス}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であり，したがって

$S_n$$={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{チ}}}}\right)}^{\boxed{\text{ツ}}}\}$$-{\displaystyle \frac{n}{\boxed{\text{テ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ト}}}}\right)}^{\boxed{\text{ナ}}}$

となる．ただし，$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$\boxed{\text{ナ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$n-1$
• $\overline{)\text{1}}$　$n$
• $\overline{)\text{2}}$　$n+1$
• $\overline{)\text{3}}$　$n+2$

【４】　四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{OABCD}$において，三角形$\mathrm{OBC}$と三角形$\mathrm{OAD}$は合同で，$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{3}$であり，底面の四角形$\mathrm{ABCD}$は長方形である．$\mathrm{AB}=2r$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\boxed{\text{ア}}}-\overrightarrow{\boxed{\text{イ}}}+\overrightarrow{c}$である．辺$\mathrm{OD}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AL}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{c}$

となる．

　さらに辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と辺$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{N}$とする．点$\mathrm{N}$は平面$\alpha$上にあることから，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$は実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=s\overrightarrow{\mathrm{AL}}+t\overrightarrow{\mathrm{AM}}$と表されるので

$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=(\boxed{\text{キ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}s-t)\overrightarrow{a}$$+(-{\displaystyle \frac{s}{\boxed{\text{コ}}}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{サ}}}})\overrightarrow{b}$$+{\displaystyle \frac{s}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{c}$

となる．一方，点$\mathrm{N}$は辺$\mathrm{OC}$上にもある．これらから，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\overrightarrow{c}$となる．

　また，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{ソ}}-\boxed{\text{タ}}{r}^2\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{チ}}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{ツテ}}{r}^2$である．よって，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}$を計算すると，$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$のとき，直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{MN}$は垂直になることがわかる．

【５】　次の表は，$3$回行われた$50$点満点のゲームの得点をまとめたものである．$1$回戦のゲームに$15$人の選手が参加し，そのうち得点が上位の$10$人が$2$回戦のゲームに参加した．さらに，$2$回戦のゲームで得点が上位の$4$人が$3$回戦のゲームに参加した．表中の「—」は，そのゲームに参加しなかったことを表している．また，表中の「範囲」は，得点の最大の値から最小の値を引いた差である．なお，ゲームの得点は整数値をとるものとする．

　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　$1$回戦のゲームに参加した$15$人の得点の平均値$\mathtt{A}$は$\boxed{\text{アイ}}.\boxed{\text{ウ}}$点である．そのうち，得点が上位の$10$人の得点の平均値を${\mathtt{A}}_1\text{，}$得点が下位の$5$人の得点の平均値を${\mathtt{A}}_2$とすると，${\mathtt{A}}_1\text{，}$${\mathtt{A}}_2\text{，}$$\mathtt{A}$の間には関係式

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}{\mathtt{A}}_1$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}{\mathtt{A}}_2$$=\mathtt{A}$

が成り立つ．ただし，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}=1$とする．

(2)　$2$回戦のゲームに参加した$10$人の$2$回戦のゲームの得点について，平均値$37.0$からの偏差の最大値は$\boxed{\text{ク}}.\boxed{\text{ケ}}$点である．また，分散$\mathtt{B}$の値は$\boxed{\text{コサ}}.\boxed{\text{シス}}\text{，}$標準偏差$\mathtt{C}$の値は$\boxed{\text{セ}}.\boxed{\text{ソ}}$点である．

(3)　$3$回戦のゲームの得点について，大小関係$\mathtt{F}<\mathtt{E}<43<\mathtt{D}$が成り立っている．

　$\mathtt{D}\text{，}$$\mathtt{E}\text{，}$$\mathtt{F}$の値から平均値$43.0$点を引いた整数値を，それぞれ$x\text{，}$$y\text{，}$$z$とおくと，$3$回戦のゲームの得点の平均値が$43.0$点，範囲が$7$点，分散が$6.50$であることから，次の式が成り立つ．

$x+y+z=\boxed{\text{タ}}$

$x-z=\boxed{\text{チ}}$

$x^2+y^2+z^2=\boxed{\text{ツテ}}$

　上の連立方程式と条件$z<y<0<x$により$x\text{，}y\text{，}z$の値が求まり，$\mathtt{D}\text{，}\mathtt{E}\text{，}\mathtt{F}$の値が，それぞれ$\boxed{\text{トナ}}$点，$\boxed{\text{ニヌ}}$点，$\boxed{\text{ネノ}}$点であることがわかる．

(4)　$2$回戦のゲームに参加した$10$人について，$1$回戦のゲームの得点を変量$p\text{，}2$回戦のゲームの得点を変量$q$で表す．このとき，変量$p$と変量$q$の相関図（散布図）として適切なものは$\boxed{\text{ハ}}$であり，変量$p$と変量$q$の間には$\boxed{\text{ヒ}}$．$\boxed{\text{ハ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　

　$\boxed{\text{ヒ}}$に最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　正の相関関係がある

$\overline{)\text{1}}$　相関関係はほとんどない

$\overline{)\text{2}}$　負の相関関係がある

(5)　$2$回戦のゲームに参加した$10$人について，(4)での変量$p\text{，}q$を使って，得点の変化率を表す新しい変量$r$を，$r={\displaystyle \frac{q-p}{p}}\times 100$（％）で定め，次の度数分布表を作成した．

　表中の$\mathtt{G}$の値は$\boxed{\text{フ}}\text{，}$$\mathtt{H}$の値は$\boxed{\text{ヘ}}$である．

【６】　$n$を$2$以上の自然数とし，以下の操作を考える．

(ⅰ)　$n$が偶数ならば，$n$を$2$で割る．

(ⅱ)　$n$が奇数ならば，$n$を$3$倍して$1$を加える．

　与えられた$2$以上の自然数にこの操作を行い，得られた自然数が$1$でなければ，得られた自然数にこの操作を繰り返す．$2$以上${10}^5$以下の自然数から始めると，この操作を何回か繰り返すことで必ず$1$が得られることが確かめられる．たとえば，$10$から始めると

$10\to 5\to 16\to 8\to 4\to 2\to 1$

である．ただし，$a\to b$は$1$回の操作で自然数$a$から自然数$b$が得られたことを意味する．

　$N$を$2$以上${10}^5$以下の自然数とするとき，$F(N)$を$N$から始めて$1$が得られるまでの上記の操作の回数と定義する．また，$F(1)=0$とおく．たとえば，上の例から，$F(10)=6$である．

(1)　$F(6)=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$F(11)=\boxed{\text{イウ}}$である．

(2)　${10}^5$以下の自然数$N$について，$F(N)$を求めるため，次のような〔プログラム〕を作った．ただし，INT(X) は X を超えない最大の整数を表す関数である．

　$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　130
• $\overline{)\text{1}}$　140
• $\overline{)\text{2}}$　150
• $\overline{)\text{3}}$　190
• $\overline{)\text{4}}$　200
• $\overline{)\text{5}}$　210

　$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちからそれぞれ一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET C = 1
• $\overline{)\text{1}}$　GOTO 130
• $\overline{)\text{2}}$　GOTO 140
• $\overline{)\text{3}}$　GOTO 210
• $\overline{)\text{4}}$　LET C = C + 1
• $\overline{)\text{5}}$　LET I = I + 1
• $\overline{)\text{6}}$　LET I = I/2
• $\overline{)\text{7}}$　NEXT N
• $\overline{)\text{8}}$　LET I = 2*I + 1

　〔プログラム〕を実行して，N に 24 を入力すると，180 行は$\boxed{\text{ク}}$回実行される．

(3)　$M$を${10}^5$以下の自然数とする．(2)で作成した〔プログラム〕を変更して，$M$以下の自然数$N$のうち，$F(N)\leqq 10$となるすべての$N$について，$F(N)$の値を出力するプログラムを作成する．そのために，まず，〔プログラム〕の 100 行を次の二つの行で置き換える．

100 INPUT M

101 FOR N = 1 TO M

　さらに，210 行を次の二つの行で置き換える．

210 IF $\boxed{\text{ケ}}$ THEN PRINT "F(";N;")=";C

211 $\boxed{\text{コ}}$

　$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　INT(I/2) = I
• $\overline{)\text{1}}$　C > 10
• $\overline{)\text{2}}$　M >= C
• $\overline{)\text{3}}$　N = I
• $\overline{)\text{4}}$　C <= 10
• $\overline{)\text{5}}$　I = N

　$\boxed{\text{コ}}$にあてはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET M = M + 1
• $\overline{)\text{1}}$　GOTO 120
• $\overline{)\text{2}}$　NEXT M
• $\overline{)\text{3}}$　NEXT N
• $\overline{)\text{4}}$　LET C = C + 1
• $\overline{)\text{5}}$　NEXT I

　変更後のプログラムを実行して，M に 10 を入力すると，210 行の PRINT 文は$\boxed{\text{サ}}$回実行される．