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(1) 次方程式がただ一つの実数解をもつとき,とのとり得る値の範囲を求めよう.
座標平面上で,曲線を直線をとする.はじめに,直線がと接するようなの値を求める.直線はの値によらずに定点を通る.一方,上の点における曲線の接線の方程式は
である.この接線がを通るとするとである.したがって,から曲線に引いた接線の方程式は
であり,このときのの値はである.また,この接線ととの共有点の座標は
である.
方程式の実数解は曲線と直線との共有点の座標である.したがって,この方程式がただ一つの実数解をもつときののとり得る値の範囲は
であり,その実数解のとり得る値の範囲は
である.
(2) 曲線と直線で囲まれた図形の面積がとなるとき
である.
【3】 座標平面上で,原点を中心とする半径の円を直線のの部分をとする.
なお,一般に円の外部の点からその円に本の接線を引くとき,から二つの接点までの距離は等しい,その距離をからその円に引いた接線の長さという.
(1) 半直線上の点から円に引いた接線のうちの本が軸に平行であるとする.の座標はである.また,からに引いたもう本の接線の傾きはであり,ととの接点の座標はである.
(2) 半直線上の点からに引いた接線の長さは
である.この根号内のに関する次関数は,の範囲で,において最小値をとる.よって,半直線上の点からに引いた接線の長さの最小値はである.また,そのときのの座標はであり,三角形の面積はである.
【5】 異なる町に住むさんとさんは,それぞれの住む町の一日の最低気温と最高気温について,公表されている観測データを月日から月日まで調べて資料を作成した.さんは最低気温の低い順に観測日ごとに最低気温と最高気温を並べた資料を作成したのに対して,さんは最低気温と最高気温をそれぞれ低い順に並べた資料を作成した.その際,さんの資料では最高気温と最低気温の観測日の対応は完全にわからなくなった.
公表されている観測データはすべて小数第位まで与えられている.また,最低気温を変量最高気温を変量で表すものとする.
さんの資料
最低気温 | 最高気温 |
さんの資料
|
|
以下,小数の形で解答する場合,指定された数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁までにマークすること.
(1) により定義される変量を考えるとき,さんの資料について変量の平均値はである.したがって,さんの資料の最低気温の平均値はである.
(2) さんの資料とさんの資料は同一の数値を多く含んでおり,最低気温には組の同一の数値が含まれている.
さんの資料の最低気温の平均値は,さんの資料の最低気温の平均値に等しく,さんの資料の最低気温の分散はさんの資料の最低気温の分散なる.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
(3) さんの資料において,最高気温の平均値は であり,最低気温と最高気温の相関係数はちょうど であった.このとき,との値を求めよう.
まず,平均値の関係から が得られ,さらに相関係数の関係から が得られる.したがって,との値はそれぞれととなる.
(4) とする.さんの資料において,は一日の気温差を表す変量となる.さんの資料において,変量と変量の相関図(散布図)はであり,変量と変量 の相関図はである.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
(5) さんの資料において,最低気温,最高気温および一日の気温差の間について,ことがわかる.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
最低気温の分散は最高気温の分散より大きい
最低気温が高いほど最高気温も高いという傾向がある
最低気温が高いほど一日の気温差が大きいという傾向がある
最高気温が高いほど一日の気温差が大きいという傾向がある
(6) さんの資料で分析できることがらのうちで,についてはさんの資料でも分析できる.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
最低気温の分散と最高気温の分散の比較
最低気温と最高気温の相関関係
最低気温と一日の気温差の相関関係
最高気温と一日の気温差の相関関係
【6】 を以上の自然数とする.の正の約数の個数を求めるため,以下のような〔プログラム1〕を作成した.ただし,INT (X)
は X
を越えない最大の整数を表す関数である.
〔プログラム1〕
100 INPUT N
110 LET C = 0
120 FOR K = 1 INT (N/2)
130 IF N - INT (N/K) * K = 0 THEN
140
150 PRINT N:"
の正の約数の個数は ";"
;"
である "
160 END
(1) 〔プログラム1〕のに当てはまるものを,次ののうちからそれぞれ一つずつ選べ.
PRINT C
LET K = K+1
GOTO 150
PRINT K
NEXT K
LET C = C+1
〔プログラム1〕のに当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
C-1
C
C+1
2*C
C/3
C/2
〔プログラム1〕を実行して, N
に 80
を入力すると,130
行のは回実行される.
(2) を以上の自然数とする.自身を除くの正の約数の総和がより大きいとき,を「過剰数」という.
最小の過剰数はである.
を以上の自然数とする.〔プログラム1〕を変更し,以上以下の過剰数がいくつあるかを出力する〔プログラム2〕を作成する.そのために,まず,〔プログラム1〕の 100
行を次の三つの行で置き換える.
100 INPUT M
101 LET D = 0
102
次に,130
行のをに置き換える.
最後に,150
行を次の三つの行に置き換える.
150 IF
THEN
151 NEXT N
152 PRINT M; "
以下の過剰数の個数は " ;D; "
である "
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
LET N = 1
LET M = N
LET N = N+1
FOR N = 2 TO M
FOR M = 1 TO N
FOR N = 2 TO M-1
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
LET C = C+1
GOTO 150
LET C = C+N
LET C = C+K
NEXT M
LET C = C+M
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
K < N
K >= N
C > N
C = C+K
C = C-1
C > C+N
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
LET C = C+K
GOTO 102
GOTO 152
NEXT D
PRINT N
LET D = D+1
〔プログラム2〕を実行して,M
に自然数を入力したとき,152
行で出力された D
の値が 3
であったとする.このとき,に当てはまる最小の自然数はであり,最大の自然数はである.