2011 旭川医科大学 前期

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2011 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  ABC AB= AC 2 等辺三角形とする. D を辺 BC 上の点とし, AD の延長線が ABC の外接円と交わる点を P とする.次の問いに答えよ.

問1  AP=BP+ CP であるとき, ABC は正三角形であることを示せ.

問2  1 BP+ 1CP = 1DP であるとき, ABC は正三角形であることを示せ.

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【2】 平面上に正三角形でない鋭角三角形 ABC が与えられている.辺 BC CA AB の長さをそれぞれ a b c とし, s= a+b+ c2 とおく.さらに,辺 BC CA AB をそれぞれ s- c:s-b s-a: s-c s- b:s-a に内分する点を X Y Z とする.また, O を原点とする.次の問いに答えよ.

問1 点 N ON = (s-a )OA + (s-b )OB + (s-c) OC s と定義するとき, 3 直線 AX BY CZ N で交わることを示せ.

問2  P ABC の内部の点, PBC PCA PAB の面積をそれぞれ S A SB SC とするとき,

OP = SA OA +SB OB +SC OC SA +SB +SC

と表される.このことを用いて, ABC の外心を Q とするとき, OQ OA OB OC a b c を用いて表せ.

問3  ABC の重心を G とする.点 N Q G を通る直線上にあるとき, ABC 2 等辺三角形であることを示せ.

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【3】 曲線 y= ea x+b a1 と曲線 y= e-x が一点で交わり,交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする.次の問いに答えよ.

問1 交点の座標を (x (a),y (a) ) とおくとき, b x (a) y (a) をそれぞれ a を用いて表せ.

問2 曲線 y= ea x-b a1 C (a) で表す.曲線 C (a) と曲線 C (a+1 ) の交点の x 座標を X (a) とおくとき,

lima (X( a)-x (a) )

を求めよ.

問3  X(a )-x (a) a 1 のとき単調減少であることを示せ.

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【4】  f(x )= 1cos x- tanx (0 x< π2 ) とする.次の問いに答えよ.

問1  g(x ) 0 x π2 で連続で, 0x< π 2 では g (x)= f(x ) を満たす関数とする.

(a)  g( π 2 ) を求めよ.

(b)  g(x ) の増加,減少を調べよ.

(c)  0x g(t )dt を求めよ.

問2  n を自然数とし, cn π2 -cn π2 g(t )dt = 1n 0π2 g (t) dt を満たす 0 π2 の間の数とする.次の極限を求めよ.

(a)  limn n (1-cos cn )

(b)  limn n cn

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