2011 浜松医科大学 前期医学部

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2011 浜松医科大学 前期

医学科

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  2 次曲線 C が媒介変数 θ を用いて,

x=3 +5cos θ y= 2+3 sinθ 0θ 2π

と表されている.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C の方程式を x y を用いて表せ.また, C を座標平面上に図示せよ.

(2) 曲線 C 上の点 P ( 3+5 cosθ ,2+3 sinθ ) における C の接線 l の方程式は,

cosθ 5 (x -3) + sinθ 3 (y -2) =1

となることを示せ.

(3) 曲線 C の焦点を F1 F 2 とする. i=1 2 に対し, Fi を通り,接線 l に垂直な直線 m i の方程式を求めよ.

(4)  i=1 2 に対し,直線 m i l との交点を Qi とする.点 O ( 3,2 ) とするとき,線分 O Qi の長さを求めよ.

(5)  P が曲線 C を一周するとき,線分 Q1 Q2 の長さの最大値,最小値,およびそのときの点 P をそれぞれ求めよ.

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医学科

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【2】 医学部における研究では,いろいろな動物が用いられる.これらの動物を生育して,研究者たちに販売する者の立場から,動物 A B C を題材にして,以下の問題を考察する.

(1) 動物 A B を生育するには, 3 種類の栄養素 p q r が必要である.生育量(単位 kg )と栄養素の量は,ともに実数で示される.

(条件a)  A x kg 生育するには, p 5 x q 5 x r x の量,同時に必要である. A の販売価格は 10 万円/ kg である.

(条件b)  B y kg 生育するには, p 4 y q y r 2 y の量,同時に必要である. B の販売価格は 5 万円/ kg である.

 手持ちの栄養素は今, p 5 q 4 r 2 の量であると仮定する.このとき, A B をそれぞれ何 kg 生育すれば,販売額が最大となるか,販売額の最大値,およびそのときの A B の生育量をそれぞれ求めよ.

(2) 動物 A B に加えて,動物 C p q r の栄養素によって生育できることがわかる.

(条件c)  C z kg 生育するには, p 2 z q 3 z r z の量,同時に必要である. C の販売価格は 8 万円/ kg である.

 手持ちの栄養素は今, p 5 q 4 の量であるが,(1)の場合と違って r はいくらでも手に入るものと仮定する.次の問いイ,ロ,ハに答えよ.

イ  C の生育量 z kg は, z=k ( 0k 11 10 ) として値を固定し, A B の生育量をそれぞれ x kg y kg として変化させる.このとき,点 ( x,y ) の動く領域 D (k ) を図示せよ.さらに, ( x,y ) がこの領域を動くとき,販売額の最大値を w (k ) とかく. w( k) k の式で表せ.

ロ  C の生育量 z =k を, 0k 1110 の範囲から 11 10 k 43 の範囲に変更する.このとき,点 ( x,y ) の動く領域 D ( k) および販売額の最大値 w ( k) はどうなるか,調べよ.

ハ  A B C をそれぞれ何 kg 生育すれば,販売額が最大となるか.販売額の最大値,およびそのときの A B C の生育量をそれぞれ求めよ.

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【3】 実数 k π 3 k π2 の範囲にあるとする.

f( x)= -kk sin (x- t) cost dt -kx k g( x)= -kk | sin( x-t) | cost dt -k xk

と定めるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  f( π 6 ) g (- π6 ) 2 つの定積分の値をそれぞれ求めよ.

(2) 差 f (x )- g( x) は,区間 - kx k で増加することを示せ.

(3) 曲線 y =g( x) の変曲点は何個あるか,調べよ.

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【4】

(1)  3 つの数 2 10-1 310 -1 4 10-1 の積を y =( 210- 1) (3 10-1 ) (4 10-1 ) として,全体集合 U と部分集合 A B を次のように定める.

U={ x| x y の正の約数}

A={ x| xU かつ x 44 の倍数}

B={ x| xU かつ x 45 の倍数}

 このとき,部分集合 A B に属する要素は,全部で何個あるか.

 以下,数列 an= 4n- 1 n=1 2 3 を考える.

(2) 次の命題 P を証明せよ.

命題 P   n 3 で割り切れることは, an 9 で割り切れるための十分条件である.

(3) 命題 P において,十分条件を必要十分条件に書きかえて,命題 Q を作る.命題 Q の真偽を答えよ.

(4)  9 11 のうち,どちらか一方の数で割り切れるけれども,他方の数では割り切れないような a n だけを取り出し,残りはすべて取り去る.こうして得られる a n の部分列を小さい順に並べると, 23 番目の項は元の数列では第 k 項になるという.番号 k を求めよ.

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