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2011 滋賀県立大学 前期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】 放物線 C1 y=x2 -4 x+a と曲線 C2 y=6 logx とが点 P で接している.ただし, a は実数とする.

(1)  a の値,および P の座標を求めよ.

(2)  P における C1 C2 の接線を l とする.このとき, l x 軸,および C 2 で囲まれる部分の面積 S を求めよ.

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工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【2】  x 軸とのなす角が 2 θ (0 <θ< π 4 ) で原点 O を通る直線 l と, x 軸上の定点 A ( a,0 ) a>0 y 軸上の定点 B ( 0,b ) b>0 がある.円 C1 C 2 l と接し,かつ C 1 x 軸と A で接し, C2 y 軸と B で接するものとする. C1 C2 の中心をそれぞれ P1 P 2 とする.ただし, P 1 P 2 は第 1 象限の点である.

(1)  ▵OP1 P 2 の面積は

S= ab sin2 θ+ cos2 θ+1

であることを示せ.

(2)  θ を変数としたとき, S の最小値を求めよ.

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工,環境科学部

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【3】  xy 平面上の原点 O 定点 A ( a,0 ) a>0 ), 定点 B ( 0,b ) b>0 を頂点とする直角三角形 OAB がある.直角三角形 OAB 内の点 M ( p,q ) から辺 OA OB AB に引いた垂線と各辺との交点をそれぞれ E F G とする.

(1)  L=ME MFMG とおいたとき, L a b p q で表せ.

(2)  L において, q を固定し, p を変数としたとき, L の最大値 L 1 a b q で表せ.

(3)  L1 において, q を変数としたとき, L1 の最大値 L 2 a b で表せ.

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【4】(1)  n 2 以上の自然数とするとき,不等式

1n logx dx<log 1+log 2+ +logn

が成り立つことを示せ.

(2)  a を正の実数とするとき,上の不等式を用いて limn ann != 0 を示せ.

(3)  limn (2+ nn+1 ) nn! を求めよ.

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