2011 京都府立医科大学 前期

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2011 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  O を原点とする座標平面において, 2 次正方行列 A の表す 1 次変換を f とする.点 ( 1,0 ) P とし, Q= f( P ) R= f( Q ) とおくとき

OP +OQ +OR =0

であるとする.

(1)  f( R) =P であることを証明せよ.

(2)  A2+ A+E= O であることを証明せよ.ここで E は単位行列, O は零行列である.

(3)  PQ の長さが 5 であり ▵PQR の面積が 22 であるとき,行列 A をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  1 辺の長さが 1 の立方体について,以下の問いに答えよ.

(1) 立方体を 1 枚の平面で切断したときの切り口が三角形であるとき,その三角形は鋭角三角形であることを証明せよ.

(2) どのような鋭角三角形 T に対しても,立方体を 1 枚の平面で切断したときの切り口が T と相似になるような切り方が存在することを証明せよ.

(3) 立方体を 3 枚の平面で切断し,いくつかの立体に切り分けることを考える.このような切り方の中で,正五角形の面をもつ立体を作る方法を説明せよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  a を正の実数とする.座標平面において,曲線 C 1y= a( x+2) x-2 と曲線 C 2y =x2 +2x x 0 を考える.曲線 C 1 と曲線 C 2 および x 軸で囲まれた部分の面積を S1( a) とし,曲線 C 1 と曲線 C 2 および直線 x =2a で囲まれた部分の面積を S2 (a ) とする.

(1)  -22 a a( x+2) dx を求めよ.

(2)  f( a)= S1 (a) -S2 (a ) とおく.関数 f (a ) が極値をとるような a の値を求めよ.

(3)  02 a x2+ 2x dx>2 a2 であることを証明せよ.

(4)  S1 (a )=S 2( a) となるような a が存在することを証明せよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  n 5 以上の整数とする.平面上に点 O をとる. O を通る直線上に OA 0=1 となる点 A 0 を一つとる.点 O を中心として直線 OA 0 を正の向きに角 2π n だけ回転した直線上に OA 1 A0 A1 となる点 A 1 をとる.次に,点 O を中心として直線 OA 1 を正の向きに角 2π n だけ回転した直線上に OA 2 A1 A2 となる点 A 2 をとる.以下同様にして k =3 4 n について,点 O を中心として直線 OA k-1 を正の向きに角 2π n だけ回転した直線上に OA k Ak- 1A k となる点 A k をとる.特に,点 A n は線分 OA 0 上の点となる.

(1) 不等式 1 -x 22 cosx を証明せよ.

(2) 線分 OA n の長さを r n とする.極限値 lim n rn を求めよ.

(3) 線分 A0 A1 A1 A2 A n-1 An の長さの和を L n とする.極限値 lim n Ln を求めよ.

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