2011 鳥取環境大学 A 2月5日実施

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2011 鳥取環境大学 A

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】(1)  2 次関数 y =f( x) は, x=3 で最大値 8 をとる.また, y= f( x) のグラフが点 ( 1,0 ) を通るとき, f( x)= アイ x2+ ウエ x- オカ であり,区間 p xp +2 における最大値が 8 のとき p である.また, p のとき, f( x) の最大値 M と最小値 m の間に, M-m =12 が成り立つとき, p= となる.

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【1】(2)  AB=7 BC=6 CA=5 ▵ABC において, AC の中点を M BC 1 :2 に内分した点を N とする.線分 BM AN の交点を P とするとき, PN の長さを求めよう.まず, ▵ABC に余弦定理を用いると, cos∠ABC = となり, BN= より, ▵ABN に余弦定理を用いれば, AN= セソ であり,メネラウスの定理より AP :PN= : なので PN = ツテ と求まる.

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【1】(3)  9 本のくじがあり,あたり 3 本,はずれ 6 本が入っている.このくじを A B C 3 人が順に 1 本ずつ引いていく.

(ⅰ) 引いたくじをもとに戻さないとき, A があたる確率は C があたる確率は である.

(ⅱ) 引いたくじを元に戻すとき, 3 人ともあたる確率は ハヒ 3 人のうち 1 人だけがあたる確率は

 また,あたった人数の期待値は となる.

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【2】(1)  2 つの集合 A B A ={n |n 6 で割り切れる 2 桁の自然数} B= {n |n 15 で割り切れる 2 桁の自然数 } とする.このとき,集合 A B A B= {n |n アイ で割り切れる 2 桁の自然数 } と表され,その要素は全部で 個である.また,集合 A B の要素は全部で エオ 個である.次に,任意の自然数 x に対して x A B であることは, xB であるための

 ただし には次の 1 4 のうちから 1 つ選べ.



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【2】(2)  -2 x2 において関数 y =9x -4 3x+1 +39 の最小値と最大値をとる x の値を考える. X=3 x とおくと, X であり, y=X 2- コサ X+ シス と表すことができる.したがって, y は最小値 をとり,最大値をとる x の値は ソタ となる.

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【2】(3) 放物線 C1 y= x2- 1 x 軸に関して対称移動して, x 軸方向に 2 y 軸方向に 8 だけ平行移動したグラフ C 2 の方程式は, y = x2+ x+ であり, C1 C2 の交点の座標は トナ なので, C1 C2 によって囲まれた図形の面積は ヌネ である.

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【3】(1)  x 0 x<2 π を満たす実数とする.このとき,方程式 sin x+sin 2x +sin3 x=0 を解いてみよう. sinA +sinB = と変形できることより,方程式は sin 2x ( cosx+ ) =0 と変形できる.ただし, には次の 1 4 のうち適するものを 1 つ選べ.

したがって,方程式の解は小さい順に

x= π π π π π

と求まる.

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【3】(2) 分母が n n は自然数)である分数の分子が 1 から n まで順に変わっていく分数を次のように並べた数列を考える.

1 1 12 2 2 13 23 33 14 24

この数列において分母が 10 の分数は シス 個並んでいる.また分母が 14 の分数は第 セソ 項から始まる.よって,第 100 項は チツ である.したがって,この数列の初項から第 100 項までの和は,

1 1+ 12 + 22 + + チツ = テトナ ニヌ

となる.

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