2012 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IAMathJax

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2012 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1](1) 不等式 |2 x+1 | 3 の解は アイ x である.

 以下, a を自然数とする.

(2) 不等式

|2 x+1 |a

の解は - -a x - +a である.

(3) 不等式 を満たす整数 x の個数を N とする. a=3 のとき, N= である.また, a 4 5 6 と増加するとき, N が初めて より大きくなるのは, a= のときである.

2012 大学入試センター試験 本試

数学I

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  a b を実数として, 2 次方程式

(x -a) 2+4 (x -a) +b=0

を考える.

 下の には次の 0 5 のうちから当てはまるものを一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

 この 2 次方程式が異なる二つの実数解をもつ条件は

b

が成立することである.その二つの解を s t とすれば

b= コサ -( s-t) 2

である.さらに s t がともに正となる条件は

a + - b

が成立することである.

2012 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a b を定数として 2 次関数

y=-x 2+( 2a+ 4) x+b

について考える.関数 のグラフ G の頂点の座標は

(a+ ,a 2+ a+ b+ )

である.以下,この頂点が直線 y= -4x -1 上にあるとする.このとき,

b=-a 2- a- オカ

である.

(1) グラフ G x 軸と異なる 2 点で交わるような a の値の範囲は

a< キク

である.また, G x 軸の正の部分と負の部分の両方で交わるような a の値の範囲は

- - <a<- +

である.

(2) 関数 0 x4 における最小値が -22 となるのは

a= シス または a=

のときである.また a= のとき,関数 0 x4 における最大値は ソタチ である.

 一方, a= シス のときの のグラフを x 軸方向に y 軸方向に テトナ だけ平行移動すると, a= のときのグラフと一致する.

2012 大学入試センター試験 本試

数学I

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=2 BC=7 CA=3 とする.

 このとき, BAC= アイ ° であるから

sinABC = ウエ cosABC =

である.

  BAC の三等分線と辺 BC との交点を,点 B に近い方から順に,点 M N とする.

(1)  ABM において,点 M から辺 AB に垂線を引くと

AM= ウエ BM

であり

AB= AM+ BM

である.よって

AM= BM=

である.

(2)  AMN ANC について, AMN の面積は AN であり, ANC の面積は AN である.

 また, AMC の面積は であるから, AN= である.

2012 大学入試センター試験 本試

数学I

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】(1)  a を正の実数とする. 1 4 a 2+a +1= ( 1 a+ 1) 2 であり,また

0<a+ 1< 14 a 2+a +1

であるので

a+1 < 1 a+ 1

となる.

(2)  2 次不等式 ( 1225 a+1) 2<a +1 を解くと, 0<a< イウ エオカ となる.よって, 0<a< イウ エオカ のとき

12 25 a+ 1<a +1

が成り立つ.

(3) (1)と(2)の結果を用いて, 17 のおよその値を求める.

  17 4= 1 キク +1 である. a= 1 キク に代入すると 174 < ケコ サシ となり, に代入すると スセソ タチツ < 174 となる.したがって

m200 <17 < m+1 200

を満たす自然数 m テトナ である. より 17 の小数第 3 位を四捨五入すると, 4. ニヌ となる.

2012 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕  k を定数とする.自然数 m n に関する条件 p q r を次のように定める.

p:m >k または n> k

q:m n> k2

r:m n>k

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つ選べ. p の否定 p である.

0   m>k または n> k

1   m>k かつ n >k

2   mk かつ n k

3   mk または n k

(2) 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

(ⅰ)  k=1 とする.

p q であるための

(ⅱ)  k=2 とする.

p r であるための

p q であるための

0  必要十分条件である

1  必要条件であるが,十分条件でない

2  十分条件であるが,必要条件でない

3  必要条件でも十分条件でもない

2012 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=AC= 3 BC=2 であるとき

cosABC = sin ABC=

であり, ABC の面積は ABC の内接円 I の半径は である.

 また円 I の中心から点 B までの距離は である.

(1) 辺 AB 上の点 P と辺 BC 上の点 Q を, BP=BQ かつ PQ= 2 3 となるようにとる.このとき, PBQ の外接円 O の直径は であり,円 I と円 O ただし, には次の 0 4 から当てはまるものを一つ選べ.

(2) 円 I 上に点 E と点 F を, 3 C E F が一直線上にこの順に並び,かつ, CF=2 となるようにとる.このとき

CE= EF CE=

である.

 さらに,円 I と辺 BC との接点を D 線分 BE と線分 DF との交点を G 線分 CG の延長と線分 BF との交点を M とする.このとき, GMCG= である.

2012 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  1 から 9 までの数字が一つずつ書かれた 9 枚のカードから 5 枚のカードを同時に取り出す.このようなカードの取り出し方は アイウ 通りある.

(1) 取り出した 5 枚のカードの中に 5 と書かれたカードがある取り出し方は エオ 通りであり, 5 と書かれたカードがない取り出し方は カキ 通りである.

(2) 次のように得点を定める.

・取り出した 5 枚のカードの中に 5 と書かれたカードがない場合は,得点を 0 点とする.

・取り出した 5 枚のカードの中に 5 と書かれたカードがある場合,この 5 枚を書かれている数の小さい順に並べ, 5 と書かれたカードが小さい方から k 番目にあるとき,得点を k 点とする.

 得点が 0 点となる確率は である.得点が 1 点となる確率は サシス で,得点が 2 点となる確率は ソタ 得点が 3 点となる確率は である.

 また,得点の期待値は 点である.

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