2012　大学入試センター試験　追試験験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

［１］　不等式

${\log }_3(x^2-2x)<1$$\cdots \text{①}$

を満たす$x$に対して

$u={\log }_2(2x^2+2x+1)$

とおく．$u$の値が整数となる$x$と，そのときの$u$の値を求めよう．

　真数は正であることに注意して，不等式$\text{①}$を満たす$x$のとり得る値の範囲を求めると

$-\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}<x<\boxed{\text{エ}}$

となる．ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，$a$を底といい，$b$を真数という．

　$\boxed{\text{ウ}}<x<\boxed{\text{エ}}$のとき，$2x^2+2x+1$のとり得る値の範囲を考えると，$u$の値が整数となるのは

$2x^2+2x+1=\boxed{\text{オカ}}$$\cdots \text{②}$

となる場合であり，このとき，$u=\boxed{\text{キ}}$である．また，$\boxed{\text{ウ}}<x<\boxed{\text{エ}}$を満たす方程式$\text{②}$の解は

$x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{2}}$

である．

　同様に，$-\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$のとき，$u$の値が整数となるのは

$2x^2+2x+1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$$\cdots \text{③}$

となる場合であり，このとき，$u=\boxed{\text{シス}}$である．また，$-\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$を満たす方程式$\text{③}$の解は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

【１】

［２］　関数

$f(x)=x^2+4({\displaystyle \frac{3\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }}-\sqrt{3})x$$+3{({\sin }^2\theta +3{\cos }^2\theta )}^2$

について，すべての実数$x$に対して$f(x)>0$が成り立つような$\theta$の値の範囲を求めよう．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

　不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$に対して成り立つための条件は，$2$次方程式$f(x)=0$の判別式$D$が$D\boxed{\text{チ}}0$を満たすことである．$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$<$
• $\overline{)\text{1}}$　$=$
• $\overline{)\text{2}}$　$>$

　$2$倍角の公式により

${\sin }^2\theta +3{\cos }^2\theta =\boxed{\text{ツ}}+\cos 2\theta$

${\displaystyle \frac{3\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\sin 2\theta$

であるから，判別式$D$は

$D=12(\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}\sin 2\theta +\cos 2\theta )$$\times (\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}\sin 2\theta -\cos 2\theta -\boxed{\text{ニ}})$

と表すことができる．

　ここで

$\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}\sin 2\theta -\cos 2\theta -\boxed{\text{ニ}}\boxed{\text{ヌ}}0$

である．$\boxed{\text{ヌ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$<$
• $\overline{)\text{1}}$　$=$
• $\overline{)\text{2}}$　$>$

　また

$\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}\sin 2\theta +\cos 2\theta$$=\boxed{\text{ネ}}\sin (2\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ノ}}}})$

であるから，条件$D\boxed{\text{チ}}0$により，不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$\theta$のとり得る値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ハヒ}}}}<\theta <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ハヒ}}}}\pi$

であることがわかる．

【２】　座標平面上で，放物線$y=x^2+2x-3$を$C$とする．

　$C$上の点$(a,a^2+2a-3)$における$C$の接線の方程式は

$y=(\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}})x-a^{\boxed{\text{エ}}}-\boxed{\text{オ}}$

である．特に，$a=0$のときの接線の方程式は

$y=\boxed{\text{カ}}x-\boxed{\text{キ}}$$\cdots \text{①}$

となる．

　実数$b\text{，}$$c$は$b<0<c$を満たすとする．放物線$C$と接線$\text{①}\text{，}$および$2$直線$x=b\text{，}$$x=c$で囲まれた二つの部分の面積の和$S$は

$S={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}}({\boxed{\text{ケ}}}^{\boxed{\text{コ}}}-{\boxed{\text{サ}}}^{\boxed{\text{コ}}})$

である．

　$0$以上の実数$t$を用いて，$b$と$c$を

$b=-|t-1|-4\text{，}$$c=4t+1$

とおくことにする．このとき，$S$を$t$を用いて表し，$t$の値が変化するときの$S$の最小値を求めよう．

　$0\leqq t\leqq 1$のとき

$S$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}}\{{(\boxed{\text{シ}}t+\boxed{\text{ス}})}^{\boxed{\text{コ}}}-{(t-\boxed{\text{セ}})}^{\boxed{\text{コ}}}\}$

となり，$t>1$のとき

$S$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}}\{{(\boxed{\text{シ}}t+\boxed{\text{ス}})}^{\boxed{\text{コ}}}+{(t+\boxed{\text{ソ}})}^{\boxed{\text{コ}}}\}$

となる．

　$0\leqq t\leqq 1$のとき，$t$の増減を調べると，$S$は

$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

で最小値をもつことがわかる．

　$t>1$のとき，$t$の値が増加すると，$S$は$\boxed{\text{ツ}}$することがわかる．$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　減少
• $\overline{)\text{1}}$　減少してから増加
• $\overline{)\text{2}}$　増加
• $\overline{)\text{3}}$　増加してから減少

　以上により，$t\geqq 0$における$S$の最小値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テトナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$

である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(4,2)$をとり，$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$からの距離の比が$\sqrt{3}:1$である点の軌跡を$C$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，三角形$\mathrm{OAP}$の面積の最大値を求めよう．

　$\mathrm{P}$が$C$上にあるとき，${\mathrm{OP}}^2=\boxed{\text{ア}}{\mathrm{AP}}^2$であるから，$C$は円

${(x-\boxed{\text{イ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ウ}})}^2=\boxed{\text{エオ}}$$\cdots \text{①}$

である．

　$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，$\mathrm{OA}$を底辺とする三角形$\mathrm{OAP}$の高さの最大値は$\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}$であるから，三角形$\mathrm{OAP}$の面積の最大値は$\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サ}}},\boxed{\text{シ}}-\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}})$

または

$(\boxed{\text{コ}}-\sqrt{\boxed{\text{サ}}},\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}})$

である．

(2)　三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$5$となるような$C$上の点$\mathrm{P}$で，直線$\mathrm{OA}$の上側にあるものを求めよう．

　三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$5$となるのは，$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{OA}$の距離が$\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$となるときである．直線$\mathrm{OA}$との距離が$\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$であり，直線$\mathrm{OA}$の上側にある点$(x,y)$の軌跡は直線

$y={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{タ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$$\cdots \text{②}$

である．$\text{①}$と$\text{②}$から，求める点$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{テ}}+\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}},\boxed{\text{ニ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}})$

または

$(\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}},\boxed{\text{ニ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}})$

である．

【４】　$a$を実数として，$x$の$3$次式

$P(x)=x^3+(a-2)x^2$$+(a^2-5a+3)x+a^2-6a+6$

を考える．$P(x)$を$x+1$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$R$とする．

(1)　$P(-1)=\boxed{\text{ア}}$であるから，$R=\boxed{\text{イ}}$であり

$Q(x)=x^2+(\boxed{\text{ウ}}-\boxed{\text{エ}})x$$+a^{\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カ}}a+\boxed{\text{キ}}$

である．

(2)　$a$を整数として，方程式$P(x)=0$が異なる三つの整数を解にもつときの$a$の値を求めよう．

　$Q(x)=0$が異なる二つの実数解をもつような整数$a$を小さい順に並べると，$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$となる．この三つのうちで，$a=\boxed{\text{サ}}$のとき，$P(x)=0$は$2$重解をもち，$a=\boxed{\text{シ}}$のとき，$P(x)=0$は整数でない解をもつので，条件を満たさない．$a=\boxed{\text{ス}}$のとき，$P(x)=0$が異なる三つの整数を解にもち，これらの解を小さい順に並べると$x=\boxed{\text{セソ}}\text{，}$$\boxed{\text{タチ}}\text{，}$$\boxed{\text{ツ}}$となる．

(3)　方程式$Q(x)=0$の二つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．

${\alpha }^3+{\beta }^3=-2$$\cdots \text{①}$

を満たすときの$a$の値を求めよう．解と係数の関係から

$\alpha +\beta =\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}}$

$\alpha \beta ={(\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}})}^2-\boxed{\text{ナ}}$

であり，このことと$\text{①}$から$a$の値を求めると

$a=\boxed{\text{ニ}}\text{，}$$\boxed{\text{ヌ}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

となる．

【３】　$\{a_n\}$を$a_2=162$で公比が$3$の等比数列とする．この数列の一般項は

$a_n=\boxed{\text{アイ}}\cdot {\boxed{\text{ウ}}}^{n-1}$

である．$\{b_n\}$を$b_1={\displaystyle \frac{a_1}{2}}$と

$b_{n+1}=3b_n+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{①}$

で定められる数列とし，自然数$n$に対して，$x_n={\displaystyle \frac{b_n}{3^n}}$とおく．$\text{①}$から$x_{n+1}=x_n+\boxed{\text{エ}}$となるので，$x_n$を求めることにより$\{b_n\}$の一般項が得られる．特に${\displaystyle \frac{b_{10}}{3^{10}}}=x_{10}=\boxed{\text{オカ}}$である．

　自然数$n$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおく．$\text{①}$から

$S_{n+1}-\boxed{\text{キク}}=3S_n+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．したがって，$S_{n+1}=S_n+b_{n+1}$に注意して計算すると$S_n$が得られる．特に，${\displaystyle \frac{S_{10}}{3^{10}}}=\boxed{\text{ケコ}}$である．

　$\{c_n\}$を$c_1=3$と

$c_{n+1}=3c_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{②}$

で定められる数列とし，自然数$n$に対して，$y_n={\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}$とおく．$\text{②}$から$y_{n+1}=y_n+\boxed{\text{サ}}n+\boxed{\text{シ}}$となるので，$y_n$を求めることにより$\{c_n\}$の一般項が得られる．特に，${\displaystyle \frac{c_{10}}{3^{10}}}=y_{10}=\boxed{\text{スセソ}}$である．

　自然数$n$に対して，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_n$とおく．$\text{②}$から

$T_{n+1}-\boxed{\text{タ}}=3T_n+S_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となるので

$T_n={\displaystyle \frac{(n^2-n+\boxed{\text{チ}}){\boxed{\text{ツ}}}^{n+1}-\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

【４】　$\mathrm{OP}=1\text{，}$$\mathrm{OQ}=2\text{，}$$\angle \mathrm{POQ}=90\mathrm{°}$である三角形$\mathrm{OPQ}$において，線分$\mathrm{OP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．ただし，$0<a<1$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{N}$を$\angle \mathrm{LMN}=90\mathrm{°}$となるようにとる．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおき，$\mathrm{PN}:\mathrm{NQ}=b:(1-b)$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{ML}}\right|$は$a$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{ML}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{p}-\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{q}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{ML}}\right|={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{1+\boxed{\text{カ}}{a}^2}$

と表される．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|$を$a$を用いて表そう．まず，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$は$a\text{，}$$b$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=(1-\boxed{\text{キ}})\overrightarrow{p}+(\boxed{\text{ク}}-\boxed{\text{ケ}})\overrightarrow{q}$

と表される．$\overrightarrow{\mathrm{ML}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\boxed{\text{コ}}$であるから，$b={\displaystyle \frac{1+\boxed{\text{サ}}{a}^2}{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}a}}$である．

　したがって，$\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|$は$a$を用いて

$\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}(\boxed{\text{ソ}}-a)}{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}a}}\sqrt{1+\boxed{\text{タ}}{a}^2}$

と表される．

(3)　三角形$\mathrm{LMN}$と三角形$\mathrm{QOP}$は相似であるとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{LN}$の交点を求めよう．

　$\left|\overrightarrow{\mathrm{ML}}\right|=\boxed{\text{チ}}\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|$であるから，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$である．$s$を実数とし，直線$\mathrm{LN}$上に点$\mathrm{R}$を$\overrightarrow{\mathrm{LR}}=s\overrightarrow{\mathrm{LN}}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$は$s$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}-{\displaystyle \frac{s}{\boxed{\text{ハ}}}})\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}s\overrightarrow{q}$

と表される．$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$のとき，$\mathrm{R}$は，直線$\mathrm{OQ}$上の点でもあるので，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{LN}$の交点となる．

【５】　次の表は，五つの教科について，好きな順に$1$から$5$の順位を同じ順位がないように，$10$人の生徒につけてもらった結果をまとめたものである．

　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　教科$1$について$10$人の順位の中央値$\mathtt{A}$は$\boxed{\text{ア}}.\boxed{\text{イ}}\text{，}$教科$5$について$10$人の順位の平均値$\mathtt{B}$は$\boxed{\text{ウ}}.\boxed{\text{エ}}$である．また，教科$2$について$10$人の順位の分散$\mathtt{C}$の値は$\boxed{\text{オ}}.\boxed{\text{カキ}}$である．

(2)　$j\text{，}$$k$を相異なる$5$以下の自然数とする．教科$j$と教科$k$に対して，教科$j$の順位が教科$k$の順位より上位である生徒の人数を変量$w$で表す．まず，$j<k$を満たす$10$通りの$(j,k)$について$w$をまとめると次の表になる．

$(j,k)$	$(1,2)$	$(1,3)$	$(1,4)$	$(1,5)$	$(2,3)$	$(2,4)$	$(2,5)$	$(3,4)$	$(3,5)$	$(4,5)$
$w$	$6$	$\mathtt{D}$	$4$	$6$	$4$	$\mathtt{E}$	$3$	$5$	$4$	$5$

表中の$\mathtt{D}\text{，}$$\mathtt{E}$の値はそれぞれ$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$\alpha \ne \beta$としたとき，$j=\alpha \text{，}$$k=\beta$のときの$w$の値$w_1$と$j=\beta \text{，}$$k=\alpha$のときの$w$の値$w_2$について，関係式$\boxed{\text{コ}}$が成り立つから，$j>k$のときの$w$の値は上の表から求めることができる．$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$w_1=w_2$
• $\overline{)\text{1}}$　$w_1=-w_2$
• $\overline{)\text{2}}$　$w_1+w_2=10$
• $\overline{)\text{3}}$　$w_1-w_2=10$

　さらに，教科$j$の中央値から教科$k$の中央値を引いた差を変量$u\text{，}$教科$j$の平均値から教科$k$の平均値を引いた差を変量$v$で表す．たとえば，$j=2\text{，}$$k=3$のとき$u=\boxed{\text{サ}}.\boxed{\text{シ}}\text{，}$$v=\boxed{\text{ス}}.\boxed{\text{セ}}$であり，$j=2\text{，}$$k=4$のとき$u=0.5\text{，}$$v=1.1$である．

　以上から，$j\ne k$を満たす$20$通りの$(j,k)$について，$u$と$w$の相関図（散布図）は$\boxed{\text{ソ}}\text{，}v$と$w$の相関図は$\boxed{\text{タ}}$となる．したがって，変量$u$と変量$w$の相関係数の値を$r_1\text{，}$変量$v$と変量$w$の相関係数の値を$r_2$とするとき，$\boxed{\text{チ}}$が成り立つ．

　$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，以下の相関図では，横軸が変量$u$あるいは変量$v$を表している．

　$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$r_2<0<r_1$
• $\overline{)\text{1}}$　$r_1<0<r_2$
• $\overline{)\text{2}}$　$0<r_2<r_1$
• $\overline{)\text{3}}$　$0<r_1<r_2$
• $\overline{)\text{4}}$　$r_1<r_2<0$
• $\overline{)\text{5}}$　$r_2<r_1<0$

>

(3)　$m\text{，}$$n$を相異なる$10$以下の自然数とする．生徒$m$がつけた順位を変量$x\text{，}$生徒$n$がつけた順位を変量$y$とし，生徒$m$が教科$k$に対してつけた順位を$x_k\text{，}$生徒$n$が教科$k$に対してつけた順位を$y_k$で表す．変量$x\text{，}$$y$の値はいずれも$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$を一つずつ含むから，変量$x$の平均値$\bar{x}$と分散${s_x}^2\text{，}$および，変量$y$の平均値$\bar{y}$と分散${s_y}^2$は，すべて整数値になり

$\bar{x}=\bar{y}=\boxed{\text{ツ}}\text{，}$${s_x}^2={s_y}^2=\boxed{\text{テ}}$

である．したがって

${\displaystyle \sum _{k=1}^5}(x_k-\bar{x})(y_k-\bar{y})={\displaystyle \sum _{k=1}^5}{x}_k{y}_k-\boxed{\text{トナ}}$

であり，教科ごとの$x\text{，}y$の値の組$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$(x_3,y_3)\text{，}(x_4,y_4)\text{，}$$(x_5,y_5)$を考えるとき，$x$と$y$の相関係数$r$について

$r={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ニヌ}}}}({\displaystyle \sum _{k=1}^5}{x}_k{y}_k-\boxed{\text{トナ}})$

が成り立つ．特に，$m=3\text{，}$$n=6$のとき，$r=\boxed{\text{ネ}}.\boxed{\text{ノ}}$であり，$\boxed{\text{ハ}}\text{．}$$\boxed{\text{ハ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　生徒$3$が上位の順位につけた教科に生徒$6$も上位の順位をつけた傾向が認められる

$\overline{)\text{1}}$　生徒$3$が上位の順位をつけた教科に生徒$6$は下位の順位をつけた傾向が認められる

$\overline{)\text{2}}$　生徒$3$が上位の順位をつけた教科に生徒$6$も上位の順位をつけた傾向も，生徒$3$が上位の順位をつけた教科に生徒$6$は下位の順位をつけた傾向も認められない

【６】　与えられた自然数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$について，条件

$\{\begin{array}{l}x+y=A\\ z+w=B\\ x+z=C\end{array}$

を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$w$をすべて求めたい．そのために，条件$x+y=A$により$x\leqq A$であることに着目して，〔プログラム１〕を作成した．

〔プログラム１〕

• 100 INPUT A,B,C
• 110 FOR X=0 TO A
• 120  LET Y=A-X
• 130  LET Z=C-X
• 140  IF Z<0 THEN $\boxed{\text{ア}}$
• 150  LET W= $\boxed{\text{イ}}$
• 160  IF W<0 THEN $\boxed{\text{ア}}$
• 170  PRINT X;Y;Z;W
• 180 NEXT X
• 180 END

(1)　〔プログラム１〕の$\boxed{\text{ア}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET X=C
• $\overline{)\text{1}}$　LET Y=A
• $\overline{)\text{2}}$　GOTO 110
• $\overline{)\text{3}}$　GOTO 120
• $\overline{)\text{4}}$　GOTO 170
• $\overline{)\text{5}}$　GOTO 180

　$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　X+B+C
• $\overline{)\text{1}}$　X+B-C
• $\overline{)\text{2}}$　X-B+C
• $\overline{)\text{3}}$　X-B-C
• $\overline{)\text{4}}$　-X+B+C
• $\overline{)\text{5}}$　-X+B-C
• $\overline{)\text{6}}$　-X-B+C
• $\overline{)\text{7}}$　-X-B-C

(2)　〔プログラム１〕を実行し，変数 Aに5，変数Bに2，変数Cに3を入力したとき，150行は$\boxed{\text{ウ}}$回，170行は$\boxed{\text{エ}}$回実行される．

　次に，〔プログラム１〕の140行を削除して，110行を次の三つの行で置き換えた〔プログラム２〕を作成した．

• $\boxed{\text{オ}}$
• 112 FOR X=0 TO I

　ただし，$\boxed{\text{オ}}$は二つの行からなり，〔プログラム１〕と〔プログラム２〕を実行したときの出力は，つねに一致するものとする．

(3)　〔プログラム２〕の$\boxed{\text{オ}}$に当てはまる二つの行を，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　$\{\begin{array}{l}\mathtt{110\hspace{1em}LET\; I=A}\\ \mathtt{111\hspace{1em}IF\; A<C\; THEN\; LET\; I=C}\end{array}$

$\overline{)\text{1}}$　$\{\begin{array}{l}\mathtt{110\hspace{1em}LET\; I=C}\\ \mathtt{111\hspace{1em}IF\; A<C\; THEN\; LET\; I=A}\end{array}$

$\overline{)\text{2}}$　$\{\begin{array}{l}\mathtt{110\hspace{1em}LET\; I=C-B}\\ \mathtt{111\hspace{1em}IF\; B>C\; THEN\; LET\; I=0}\end{array}$

$\overline{)\text{3}}$　$\{\begin{array}{l}\mathtt{110\hspace{1em}IF\; A>C\; THEN\; LET\; I=A}\\ \mathtt{111\hspace{1em}IF\; A<C\; THEN\; LET\; I=C}\end{array}$

$\overline{)\text{4}}$　$\{\begin{array}{l}\mathtt{110\hspace{1em}IF\; A>C\; THEN\; LET\; I=C}\\ \mathtt{111\hspace{1em}IF\; A<C\; THEN\; LET\; I=A}\end{array}$

$\overline{)\text{5}}$　$\{\begin{array}{l}\mathtt{110\hspace{1em}IF\; B>C\; THEN\; LET\; I=0}\\ \mathtt{111\hspace{1em}IF\; B<C\; THEN\; LET\; I=C-B}\end{array}$

(4)　〔プログラム２〕を実行し，変数A，B，Cに条件$\boxed{\text{カ}}$を満たすどのような値を入力しても，170行のPRINT文は$1$回も実行されない．$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　A-B-C>=0
• $\overline{)\text{1}}$　A-B-C<0
• $\overline{)\text{2}}$　A-B+C>=0
• $\overline{)\text{3}}$　A-B+C<0
• $\overline{)\text{4}}$　A+B-C>=0
• $\overline{)\text{5}}$　A+B-C<0

　与えられた自然数$A\text{，}$$B\text{，}$$D$について，条件

$\{\begin{array}{l}x+y=A\\ z+w=B\\ x+z+v=D\end{array}$

を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$w\text{，}$$v$をすべて求めたい．そのために，〔プログラム２〕を変更して，$v$の値ごとに，$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$w$の値を定める〔プログラム３〕を作成した．

〔プログラム３〕

• 100 INPUT A,B,D
• 101 FOR V=0 TO $\boxed{\text{キ}}$
• 102  LET C= $\boxed{\text{ク}}$
• 103  IF $\boxed{\text{カ}}$ THEN $\boxed{\text{ケ}}$
• $\boxed{\text{オ}}$
• 112  FOR X=0 TO I
• 120   LET Y=A-X
• 130   LET Z=C-X
• 150   LET W= $\boxed{\text{イ}}$
• 160   IF W<0 THEN $\boxed{\text{ア}}$
• 170   PRINT X;Y;Z;W;V
• 180  NEXT X
• 181 NEXT V
• 190 END

　ただし，行番号に下線が引かれた行は，変更または追加された行である．

(5)　〔プログラム３〕の$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　A
• $\overline{)\text{1}}$　B
• $\overline{)\text{2}}$　D
• $\overline{)\text{3}}$　A+B
• $\overline{)\text{4}}$　D-A
• $\overline{)\text{5}}$　D-B
• $\overline{)\text{6}}$　A+B-D
• $\overline{)\text{7}}$　D-A-B

　$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　V
• $\overline{)\text{1}}$　D+V
• $\overline{)\text{2}}$　D-V
• $\overline{)\text{3}}$　A+B+V
• $\overline{)\text{4}}$　A+B-V
• $\overline{)\text{5}}$　A+B-D+V
• $\overline{)\text{6}}$　A+B-D-V
• $\overline{)\text{7}}$　D-A-B+V
• $\overline{)\text{8}}$　D-A-B-V

　$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET C=C-1
• $\overline{)\text{1}}$　LET V=V+1
• $\overline{)\text{2}}$　GOTO 170
• $\overline{)\text{3}}$　GOTO 180
• $\overline{)\text{4}}$　GOTO 181
• $\overline{)\text{5}}$　GOTO 190

(6)　〔プログラム３〕を実行し，変数Aに2，変数Bに2，変数Dに5を入力したとき，150行は$\boxed{\text{コサ}}$回，170行は$\boxed{\text{シ}}$回実行される．