2012 浜松医科大学 前期医学部

Mathematics

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2012 浜松医科大学 前期

医学科

配点70点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=1 +sinx +sin2 x 0 x2 π を考える.以下の問いに答えよ.

(1)  y=f (z ) の増減表を作成し,極値を求めよ.

(2)  x= 512 π のとき,和 sin x+cos x と積 sin xcos x の値をそれぞれ求めよ.

(3) 次の不等式(ⅰ),(ⅱ)がそれぞれ成り立つことを証明せよ.また,等号がいつ成立するか,それぞれ調べよ.

(ⅰ)  f( x) sinx (1+ 2+cos x ) 0x π

(ⅱ)  (sin x+cos x) ( 7 4- sinx cosx ) ( 32 ) 32 ( 0x π 2)

2012 浜松医科大学 前期

医学科

配点65点

易□ 並□ 難□

【2】  24 時間診療業務を休みなく行う病院において, 40 日間で 1 万個使用される医療材料 A について考える. A の使用頻度は常に一定であり, 1 日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする.

 さて,病院における在庫管理では,「品切れ」が起きないこと,「コスト」をできるだけ低くすること,この 2 つが肝要である.医療材料 A の保管費は,この保管期間に比例し, 1 個につき 10 日間で 1 円である.また,納入業者に A を注文すれば,注文量の多少に関わらず,品物が届いた時点で 200 円の事務費がかかる.なお,担当者は A の在庫量 y の時間的推移を把握しており,品切れになる直前という最適のタイミングで,注文した量が届くものとする.

 われわれは,保管費と事務費の和 S を最小にするような注文の仕方を求める.以下の問いに答えよ.

(1)  A の在庫は最初 1 万個あったとする.そして注文する量は毎回一定として, x で表す.このとき,時間 t による在庫量 y の変化を表すグラフを,横軸を時間の t 軸とする座標平面上に図示せよ.(図示する際には,適当な x の値を自ら認定すること.)

 以下, 1 回目の注文によって品物の届く時点以降の y の変化について考察する.

(2) 周期的な y の変動に留意して,平均在庫量を求めよ.

(3) 長期にわたる保管費,事務費の総額をそれぞれ見積もり,保管費と事務費の和 S の「 1 日あたりの平均コスト」を求めよ.さらに,この 1 日あたりの平均コストを最小にするような x の値を求めよ.

2012 浜松医科大学 前期

医学科

【3A】,【3B】から1題選択

配点65点

易□ 並□ 難□

【3A】  n は自然数を表すとして,以下の問いに答えよ.

(1) 平面を次の条件を満たす n 個の直線によって分割する.

【どの直線もほかのすべての直線と交わり,どの 3 つの直線も 1 点で交わらない.】

 このような n 個の直線によって作られる領域の個数を L (n ) とすると, L( 1)= 2 L (2 )=4 は容易にわかる.次の問いに答えよ.

(ⅰ)  L( 3) L (4 ) L (5 ) をそれぞれ求めよ.

(ⅱ)  L( n) の漸化式を求めよ.

(ⅲ)  L( n) を求めよ.

(2) 平面を次の条件を満たす n 個の円によって分割する.

【どの円も他のすべての円と 2 点で交わり,どの 3 つの円も 1 点で交わらない.】

 このような n 個の円によって作られる領域の個数を D ( n) とすると, D( 1)= 2 は容易にわかる.次の問いに答えよ.

(ⅰ)  D( 2) D (3 ) D (4 ) をそれぞれ求めよ.

(ⅱ)  D( n) の漸化式を求めよ.

(ⅲ)  D( n) を求めよ.

2012 浜松医科大学 前期

医学科

【3A】,【3B】から1題選択

配点65点

易□ 並□ 難□

【3B】  1 個のさいころを 3 回投げる. 1 回目, 2 回目, 3 回目に出る目の数をそれぞれ X1 X2 X 3 として, 3 つの確率変数

Y=4 X1 +X2 Z 1=2 X1 +3 X2 Z 2=2 X1 +3 X3

を定める. 1 から 6 までの目は等確率で出るものとするとき,以下の問いに答えよ.

(1) 数の集合 U ={ x| x は整数かつ 5x 30} を全体集合として,

S= {x| xU かつ P (Y =x) > 136 }

T={ x| xU かつ P ( Z1= x)> 1 36 }

を定める.部分集合 S T の要素をそれぞれ列挙せよ.

(2)  Y の値が S に属するという事象を A とし, i=1 2 に対して Z i の値が T に属するという事象を Bi とする.次の問いに答えよ.

(ⅰ)  i=1 2 に対し,等式 P ( A B i) =P (A ) P ( Bi ) が成り立つかどうか,それぞれ調べよ.

(ⅱ) 条件付き確率 PA ( B1 B 2 ) の定義式をかき,その値を求めよ.

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