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2012 滋賀県立大学 後期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】(1) 行列 ( a+1 2-a 2 2a ) が逆行列をもたないとき,定数 a の値を求めよ.

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【1】(2) 関数 y =cos2 ax a は定数)を微分せよ.

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【1】(3) 定積分 1a (log x) 2x dx a>1 を求めよ.

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【2】 原点を O とする座標平面上に点 A ( 0,1 ) B (2 ,0) をとる. AB BO をそれぞれ 1 :r r>0 に内分する点を M N とする.また, OM AN の交点を P とする.

(1)  OA =a OB =b とおくとき, OM AN をそれぞれ a b r で表せ.

(2)  OM AN が直交するときの r の値とそのときの R の座標を求めよ.

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【3】  1 より大きい自然数 p q p>q は互いに素,すなわち 1 以外の公約数を持たないものとする.

(1) 整数 m n について, mp -np q の整数倍であるとき, m-n q の整数倍であることを示せ.

(2)  n=1 2 q に対して, np q で割った余りはすべて異なることを示せ.

(3) 座標平面上の点 ( x,y ) は, x y がともに整数であるとき格子点という.直線 p x+q y=0 に平行な直線で,原点を通らず,かつある格子点を通るもののうち,原点からの距離が最小となるものは p x+q y=1 p x+q y=- 1 であることを示せ.

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【4】 数列 { an } 0 <a1 <a2 < <an < を満たすとする.座標平面の原点から曲線 Cn y= loge xan x>0 へ接線を引き,その接点を Pn とする.いま,点 P1 P 2 Pn はある直線 l 上に等間隔に並んでいるとする.

(1)  l を求めよ.

(2) 数列 { an } は等差数列であることを示せ.

(3)  l x 軸および C n C n+1 によって囲まれる領域の面積 S n はすべての n に関して同じであることを示せ.

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