2012 京都府立医科大学 前期

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2012 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  x を実数とし, 3 辺の長さが 1 x および 2 -x の三角形を考える.

(1)  x の取り得る値の範囲を求めよ.

(2) 長さ 1 の辺と長さ x の辺のなす角の大きさを θ とするとき, cosθ x を用いて表せ.

(3) 三角形の面積を x を用いて表せ.

(4) 三角形を長さ x の辺のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を V (x ) とおく. V( x) の最大値とそのときの x の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 平面上に原点 O を外心とする ABC があり

7OA +x OB +y OC= 0

が成り立っているとする.ただし x >0 y> 0 とする.点 A を通り直線 OA に垂直な直線を l とする.直線 l は直線 BC と交わるとし,その交点を D とする.このとき点 C は線分 BD 上にあるとする. ADB 2 等分線と辺 AB AC との交点をそれぞれ P Q とする.

(1)  AP=AQ であることを証明せよ.

(2)  APQ が正三角形となる整数 x y の組をすべて求めよ.

(3)  ABC APQ の面積をそれぞれ S1 S2 とする.(2)で求めた x y のうち, x+y が最大になるものについて, S 2S1 を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 四面体 ABCD があり,辺 AC と辺 BD は辺 AB に垂直であるとし,面 ABC と面 ABD は垂直に交わるとする.辺 AB の長さを 1 とし,辺 AC の長さを a BD の長さを b とおく.次に,点 C を通り直線 AB に垂直である平面を K とおく.四面体に内接する球の半径を r とおき,球の中心から平面 K に下ろした垂線の長さを c とおく.

(1)  rc b を用いて表せ.

(2)  r a b を用いて表せ.

(3)  a=1 とする.線分 AB の中点を通り直線 AB と垂直に交わる平面を H とおく.四面体に内接する球が平面 H と共有点を持たないような b の範囲を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  2 以上の整数 n に対し

In= 2( n-1) π2 nπ 1-cos xx- log( 1+x) dx

とおく.

(1)  In 2 π2 (n -1) π-log (1 +2( n-1) π) であることを証明せよ.

(2)  limn nI n=1 であることを証明せよ.ただし, limn logx x= 0 であることは証明なしに用いてよい.

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