2012 鳥取環境大学 A 2月4日実施

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2012 鳥取環境大学 A

2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】(1)  x についての 2 次方程式と不等式

x2- (2 a+6) x+7 a+11 =0

bx- 2>3 b-x

を考える.ただし, a b は定数である.

(ⅰ)  x =-1 を解にもつとき, a= アイ であり,もう 1 つの解は x = である.

(ⅱ)  b=- 3 のとき, の解は x < である.

(ⅲ)  が重解をもつとき, a= カキ で重解は x = または, a= で重解は x = である.また, x= x= がともに を満たすとき, b のとり得る値の範囲は, サシ <b < である.

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【1】(2) 半径 15 の円 O に内接する ABC があり,各辺の長さは定数 k を用いて, AB=5 k BC =9k CA=7 k と表される.

(ⅰ)  cos BCA= sin BCA= チツ であり, k= トナ である.

(ⅱ)  2 A B を通り,半径 15 の円 O がある.ただし,円 O は円 O と異なる円とする.直線 AC と円 O の交点のうち, A と異なる点を D 直線 BC と円 O の交点のうち, B と異なる点を E とする.このとき, AE= k BD= k であり, ABC DEC の面積の比は, ABC DEC = ノハ である.

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(ア)        |   |
(イ)  |     |    

【2】(1)  6 個の球が横一列に並んでいる.球と球の間または両端の計 7 か所から,無作為に 2 か所を選び,そこに棒を置く.このとき,(間に棒がなく)連続して並んでいる球の個数の最大値を X とする.例えば,右図の(ア)のときは, X=4 (イ)のときは X =3 である.

(ⅰ)  X=6 となる確率は イウ X= 5 となる確率は オカ である.

(ⅱ)  X=2 となる確率は クケ X= 4 となる確率は である.

(ⅲ)  X の期待値は シス セソ である.



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【2】(2)  x 3 次式 P( x)= x3- (a+ 5) x2+ (6 a+4) x+b があり, P( 4)= 0 を満たしている.ただし, a b は定数である.

(ⅰ)  b= タチ a であり, P( x) を因数分解すると,

P( x)= (x- ) {x 2-( a+ ) x+ a }

となる.

(ⅱ)  2 次方程式 x 2-( a+ ) x+ a= 0 の解を a β とする.

aβ - ( a+β )+ = 0

であるから, の解がすべて自然数となるとき, a= であり, の解は x = である.ただし, は解答の順序を問わない.

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【3】(1) 数列 { an } の初項 a 1 から第 n 項までの和は Sn=n 2-18 n n=1 2 3 である.

(ⅰ)  a1= アイウ であり,数列 { an } の一般項は an= n- オカ である.

(ⅱ) 数列 { bn } があり, b1 =1 b nb n+1 =2 n= 1 2 3 を満たしている. n を自然数とするとき, Tn = k= 12 n ak bk とする.このとき,

Tn = n2- クケ n

であり, Tn n = のとき,最小値 サシスセ をとる.

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【3】(2)  3 次関数 f( x)= x3- ax2 +15 x+b がある.ただし, a b は定数である. f( x) は, x=1 で極大値 8 をとる.

(ⅰ)  a= b= であり, f( x) x = で極小値 ツテト をとる.

(ⅱ)  p を正の数とする. 0x p における f( x) の最大値が 8 であり,かつその最小値が ツテト のとき, p のとり得る値の範囲は p である.

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