2013　大学入試センター試験　本試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

［１］　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(6,0)\text{，}$$\mathrm{B}(3,3)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}1:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る円を$C$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$であり，$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エオ}})$である．

(2)　円$C$の方程式を次のように求めよう．線分$\mathrm{OP}$の中点を通り，$\mathrm{OP}$に垂直な直線の方程式は

$y=\boxed{\text{カキ}}x+\boxed{\text{ク}}$

であり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を通り，$\mathrm{PQ}$に垂直な直線の方程式は

$y=x-\boxed{\text{ケ}}$

である．

　これらの$2$直線の交点が円$C$の中心であることから，円$C$の方程式は

${(x-\boxed{\text{コ}})}^2+{(y+\boxed{\text{サ}})}^2=\boxed{\text{シス}}$

であることがわかる．

(3)　円$C$と$x$軸の二つの交点のうち，点$\mathrm{O}$と異なる交点を$\mathrm{R}$とすると，$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{OA}$を$\boxed{\text{セ}}:1$に外分する．

【１】

［２］　連立方程式

(＊)$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ 2^x+2^y+2^z={\displaystyle \frac{35}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2^x}}+{\displaystyle \frac{1}{2^y}}+{\displaystyle \frac{1}{2^z}}={\displaystyle \frac{49}{16}}\end{array}$

を満たす実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を求めよう．ただし，$x\leqq y\leqq z$とする．

　$X=2^x\text{，}$$Y=2^y\text{，}$$Z=2^z$とおくと，$x\leqq y\leqq z$により$X\leqq Y\leqq Z$である．(＊)から，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$の関係式

$\{\begin{array}{l}XYZ=\boxed{\text{ソ}}\\ X+Y+Z={\displaystyle \frac{35}{2}}\\ XY+YZ+ZX={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\end{array}$

が得られる．

　この関係式を利用すると，$t$の$3$次式$(t-X)(t-Y)(t-Z)$は

$(t-X)(t-Y)(t-Z)$

$\begin{array}{ll}& =t^3-(X+Y+Z)t^2+(XY+YZ+ZX)t-XYZ\\ & =t^3-{\displaystyle \frac{35}{2}}{t}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}t-\boxed{\text{ソ}}\\ & =(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})(t-\boxed{\text{テ}})(t-\boxed{\text{トナ}})\end{array}$

となる．したがって，$X\leqq Y\leqq Z$により

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$Y=\boxed{\text{テ}}\text{，}$$Z=\boxed{\text{トナ}}$

となり，$x={\log }_{\boxed{\text{ニ}}}X\text{，}$$y={\log }_{\boxed{\text{ニ}}}Y\text{，}$$z={\log }_{\boxed{\text{ニ}}}Z$から

$x=\boxed{\text{ヌネ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{ノ}}\text{，}$$z=\boxed{\text{ハ}}$

であることがわかる．

【２】　$a$を正の実数として，$x$の関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-3a^{2}x+a^3$

とする．

　関数$y=f(x)$は，$x=\boxed{\text{アイ}}$で極大値$\boxed{\text{ウ}}{a}^{\boxed{\text{エ}}}$をとり，$x=\boxed{\text{オ}}$で極小値$\boxed{\text{カ}}{a}^{\boxed{\text{キ}}}$をとる．このとき，$2$点

$(\boxed{\text{アイ}},\boxed{\text{ウ}}{a}^{\boxed{\text{エ}}})\text{，}$$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}}{a}^{\boxed{\text{キ}}})$

と原点を通る放物線

$y=\boxed{\text{ク}}{x}^2-\boxed{\text{ケ}}{a}^{\boxed{\text{コ}}}x$

を$C$とする．原点における$C$の接線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{サシ}}{a}^{\boxed{\text{ス}}}x$

である．また，原点を通り$l$に垂直な直線$m$の方程式は

$y={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{セ}}{a}^{\boxed{\text{ソ}}}}}x$

である．

　$x$軸に関して放物線$C$と対称な放物線

$y=-\boxed{\text{ク}}{x}^2+\boxed{\text{ケ}}{a}^{\boxed{\text{コ}}}x$

を$D$とする．$D$と$l$で囲まれた図形の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{a}^{\boxed{\text{テ}}}$

である．

　放物線$C$と直線$m$の交点の$x$座標は，$0$と${\displaystyle \frac{4a^{\boxed{\text{ト}}}+1}{2a^{\boxed{\text{ナ}}}}}$である．$C$と$m$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S=T$となるのは$a^{\boxed{\text{テ}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のときであり，このとき，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【３】　$a$を$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とし，$x$の関数$f(x)$を

$f(x)=\sin (x-2a)$$+\sin (x-a)$$+\sin x$$+\sin (x+a)+\sin (x+2a)$$\cdots \text{①}$

とする．

(1)　加法定理を用いると

$f(x)=(\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\cos a+\boxed{\text{ウ}}\cos 2a)\sin x$

となる．さらに，$2$倍角公式を用いると

$f(x)=(\boxed{\text{エオ}}+\boxed{\text{カ}}\cos a+\boxed{\text{キ}}{\cos }^{2}a)\sin x$$\cdots \text{②}$

となる．

(2)　すべての実数$x$に対して$f(x)=0$が成り立つ場合を考える．このとき，$a$の値を求めよう．

　まず，$\text{②}$により，すべての実数$x$に対して$f(x)=0$が成り立つのは

$\boxed{\text{エオ}}+\boxed{\text{カ}}\cos a+\boxed{\text{キ}}{\cos }^{2}a=0$

のときである．よって，$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$から

$\cos a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}+\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$$\cdots \text{③}$

であるので，すべての実数$x$に対して$f(x)=0$が成り立つような$a$がただ一つ定まることがわかる．

　次に，すべての実数$x$に対して$f(x)=0$であるから，特に，$x={\displaystyle \frac{a}{2}}$のとき，$f\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)=0$である．これにより，$\text{①}$から，$\sin ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}a)=0$がわかる．したがって，$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に注意すると，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\pi$である．

(3)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\pi$のときの$\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}$の値を求めよう．まず，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\pi$のとき，$\text{③}$が成り立つから

$\cos 2a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}+\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

であることがわかる．したがって，$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=-\cos (\pi -{\displaystyle \frac{a}{2}})$を利用すると

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}+\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

【４】　$p\text{，}$$q$を実数として，$x$の$3$次式$f(x)$を

$f(x)=x^3+p{x}^2+qx+30$

とする．

(1)　$f(x)$の$x$に虚数$3+i$を代入すると

$f(3+i)=\boxed{\text{ア}}p+\boxed{\text{イ}}q+48$$+(\boxed{\text{ウ}}p+q+\boxed{\text{エオ}})i$

となる．

(2)　$3$次方程式$f(x)=0$の一つの解が$3+i$であるとき，他の解を求めよう．

　$3+i$が方程式$f(x)=0$の解であるから

$\boxed{\text{ア}}p+\boxed{\text{イ}}q+48=0\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}p+q+\boxed{\text{エオ}}=0$

となり，$p\text{，}$$q$の値は

$p=-\boxed{\text{カ}}\text{，}$$q=-\boxed{\text{キ}}$

である．このとき，$f(x)$を因数分解すると

$f(x)=(x+\boxed{\text{ク}})(x^2-\boxed{\text{ケ}}x+\boxed{\text{コサ}})$

となり，方程式$f(x)=0$の他の解は

$\boxed{\text{シス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}-i$

である．

(3)　$3$次方程式$f(x)=0$が実数解$-5$と二つの虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．このとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$を$p$を用いて表し，${\alpha }^2+{\beta }^2$のとり得る値の範囲を求めよう．

　$-5$が方程式$f(x)=0$の解であることから

$q=5p-\boxed{\text{ソタ}}$

が成り立つ．したがって，$f(x)$は$p$を用いて

$f(x)=(x+5)\{x^2+(p-\boxed{\text{チ}})x+\boxed{\text{ツ}}\}$

と表される．このとき，方程式

$x^2+(p-\boxed{\text{チ}})x+\boxed{\text{ツ}}=0$

が虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつような$p$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}<p$$<\boxed{\text{テ}}+\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$$\cdots \text{①}$

である．

　解と係数の関係により，${\alpha }^2+{\beta }^2$は$p$を用いて

${\alpha }^2+{\beta }^2=p^2-\boxed{\text{ニヌ}}p+\boxed{\text{ネノ}}$$\cdots \text{②}$

と表される．

　したがって，$\text{①}$と$\text{②}$により，${\alpha }^2+{\beta }^2$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ハヒフ}}\leqq {\alpha }^2+{\beta }^2<\boxed{\text{ヘホ}}$

である．

【３】(1)　数列$\{p_n\}$は次を満たすとする．

$p_1=3\text{，}$$p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{p}_n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{①}$

数列$\{p_n\}$の一般項と，初項から第$n$項までの和を求めよう．まず，$\text{①}$から

$p_{n+1}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(p_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となるので，数列$\{p_n\}$の一般項は

$p_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}\cdot {\boxed{\text{エ}}}^{n-2}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．したがって，自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}(1-{\displaystyle \frac{1}{{\boxed{\text{ケ}}}^n}})+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}n}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

(2)　正の数からなる数列$\{a_n\}$は，初項から第$3$項が$a_1=3\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_3=3$であり，すべての自然数$n$に対して

$a_{n+3}={\displaystyle \frac{a_n+a_{n+1}}{a_{n+2}}}$$\cdots \text{②}$

を満たすとする．また，数列$\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を，自然数$n$に対して，$b_n=a_{2n-1}\text{，}$$c_n=a_{2n}$で定める．数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の一般項を求めよう．まず，$\text{②}$から

$a_4={\displaystyle \frac{a_1+a_2}{a_3}}=\boxed{\text{シ}}\text{，}$$a_5=3\text{，}$$a_6={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}$$a_7=3$

である．したがって，$b_1=b_2=b_3=b_4=3$となるので

$b_n=3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{③}$

と推定できる．

　$\text{③}$を示すためには，$b_1=3$から，すべての自然数$n$に対して

$b_{n+1}=b_n$$\cdots \text{④}$

であることを示せばよい．このことを「まず，$n=1$のとき$\text{④}$が成り立つことを示し，次に，$n=k$のとき$\text{④}$が成り立つと仮定すると，$n=k+1$のときも$\text{④}$が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう．この方法を$\boxed{\text{ソ}}$という．$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　組立除法
• $\overline{)\text{1}}$　弧度法
• $\overline{)\text{2}}$　数学的帰納法
• $\overline{)\text{3}}$　背理法

［Ⅰ］$n=1$のとき，$b_1=3\text{，}$$b_2=3$であることから$\text{④}$は成り立つ．

［Ⅱ］$n=k$のとき，$\text{④}$が成り立つ，すなわち

$b_{k+1}=b_k$$\cdots \text{⑤}$

と仮定する．$n=k+1$のとき，$\text{②}$の$n$に$2k$を代入して得られる等式と，$2k-1$を代入して得られる等式から

$b_{k+2}={\displaystyle \frac{c_k+{\boxed{\text{タ}}}_{k+1}}{{\boxed{\text{チ}}}_{k-1}}}\text{，}$$c_{k+1}={\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ツ}}}_k+c_k}{{\boxed{\text{テ}}}_{k+1}}}$

となるので，$b_{k+2}$は

$b_{n+2}={\displaystyle \frac{({\boxed{\text{ト}}}_k+{\boxed{\text{ナ}}}_{k+1}){\boxed{\text{ニ}}}_{k+1}}{b_k+c_k}}$

と表される．したがって，$\text{⑤}$により，$b_{k+2}=b_{k+1}$が成り立つので，$\text{④}$は$n=k+1$のときにも成り立つ．

［Ⅰ］，［Ⅱ］により，すべての自然数$n$に対して$\text{④}$の成り立つことが証明された．したがって，$\text{③}$が成り立つので，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=3$である．

　次に，$\text{②}$の$n$を$2n-1$に置き換えて得られる等式と$\text{③}$から

$c_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{c}_n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となり，$c_1=\boxed{\text{ヌ}}$であることと$\text{①}$から，数列$\{c_n\}$の一般項は，(1)で求めた数列$\{p_n\}$の一般項と等しくなることがわかる．

【４】　$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{OC}=4\text{，}$$\angle \mathrm{AOC}=\theta$である平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BD}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

　以下，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\overrightarrow{c}$と表す．

(1)　$t$を$\cos \theta$を用いて表そう．

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DB}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{ウエ}}\cos \theta$

となるので，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\boxed{\text{オ}}$により

$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}(\boxed{\text{キ}}\cos \theta +1)}{\boxed{\text{ク}}(\cos \theta +\boxed{\text{ケ}})}}$$\cdots \text{①}$

となる．

(2)　点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OC}$上にあるとする．$\theta$のとり得る値の範囲を求めよう．ただし，線分$\mathrm{OC}$は両端の点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}$を含むものとする．以下，$r=\cos \theta$とおく．

　点$\mathrm{E}$が線分$\mathrm{OC}$上にあることから，$0\leqq t\leqq 1$である．$-1<r<1$なので，$\text{①}$の右辺の$\cos \theta$を$r$に置き換えた分母$\boxed{\text{ク}}(r+\boxed{\text{ケ}})$は正である．したがって，条件$0\leqq t\leqq 1$は

$0\leqq \boxed{\text{カ}}(\boxed{\text{キ}}r+1)$$\leqq \boxed{\text{ク}}(r+\boxed{\text{ケ}})$$\cdots \text{②}$

となる．

　$r$についての不等式$\text{②}$を解くことにより，$\theta$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{コ}}}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\pi$

であることがわかる．

(3)　$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{8}}$とする．直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，三角形$\mathrm{BEF}$の面積を求めよう．$\text{①}$により，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$となり

$\overrightarrow{\mathrm{OF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\overrightarrow{c}$

となる．したがって，点$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{AE}$を$1:\boxed{\text{テ}}$に内分する．このことと，平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$であることから，三角形$\mathrm{BEF}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【５】　右の表は，あるクラスの生徒$10$人に対して行なわれた国語と英語の小テスト（各$10$点満点）の得点をまとめたものである．ただし，小テストの得点は整数値をとり，$\text{C}>\text{D}$である．また，表の数値はすべて正確な値であり，四捨五入されていない．

　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　$10$人の国語の得点の平均値Aは$\boxed{\text{ア}}.\boxed{\text{イ}}$点である．また，国語の得点の分散Bの値は$\boxed{\text{ウ}}.\boxed{\text{エオ}}$である．さらに，国語の得点の中央値は$\boxed{\text{カ}}.\boxed{\text{キ}}$点である．

(2)　$10$人の英語の得点の平均値が$8.0$点，分散が$1.00$であることから，CとDの間には関係式

$\text{C}+\text{D}=\boxed{\text{クケ}}$

${(\text{C}-8)}^2+{(\text{D}-8)}^2=\boxed{\text{コ}}$

が成り立つ．上の連立方程式と条件$\text{C}>\text{D}$により，C，Dの値は，それぞれ$\boxed{\text{サ}}$点，$\boxed{\text{シ}}$点であることがわかる．

(3)　$10$人の国語と英語の得点の相関図（散布図）として適切なものは$\boxed{\text{ス}}$であり，国語と英語の得点の相関係数の値は$\boxed{\text{セ}}.\boxed{\text{ソタチ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ス}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

(4)　同じ$10$人に対して数学の小テスト（$10$点満点）を行なったところ，数学の得点の平均値はちょうど$5.4$点であり，分散はちょうど$1.44$であった．また，国語と数学の得点の相関係数はちょうど$-0.125$であった．

　ここで，$k$を$1$から$10$までの自然数として，生徒$k$の国語の得点を$x_k\text{，}$数学の得点を$y_k\text{，}$国語と数学の得点の合計$x_k+y_k$を$w_k$で表す．このとき，国語と数学の得点の合計$w_1\text{，}$$w_2\text{，}\cdots \text{，}$$w_{10}$の平均値は$\boxed{\text{ツテ}}.\boxed{\text{ト}}$点である．

　次に，国語と数学の得点の合計$w_1\text{，}$$w_2\text{，}\cdots \text{，}$$w_{10}$の分散を以下の手順で求めよう．国語の得点の平均値を$\bar{x}\text{，}$分散を${s_x}^2\text{，}$数学の得点の平均値を$\bar{y}\text{，}$分散を${s_y}^2\text{，}$国語と数学の得点の合計の平均値を$\bar{w}\text{，}$分散を${s_w}^2$で表す．このとき

$T=(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})$$+\cdots +(x_{10}-\bar{x})(y_{10}-\bar{y})$

とおくと，国語と数学の得点の相関係数は$-0.125$であるから

$T=\boxed{\text{ナニ}}.\boxed{\text{ヌネノ}}$

である．また，$k$を$1$から$10$までの自然数として，${(w_k-\bar{w})}^{\mathrm{２}}$は

$\begin{array}{ll}{(w_k-\bar{w})}^2& ={\{(x_k+y_k)-(\bar{x}+\bar{y})\}}^2\\ & ={\{(x_k-\bar{x})+(y_k-\bar{y})\}}^2\end{array}$

と変形できる．これを利用して，分散${s_w}^2$は

$\begin{array}{ll}{s_w}^2& ={\displaystyle \frac{{(w_1-\bar{w})}^2+{(w_2-\bar{w})}^2+\cdots +{(w_{10}-\bar{w})}^2}{10}}\\ & ={s_x}^2+{s_y}^2+\boxed{\text{ハ}}T\end{array}$

と表すことができるので，分散${s_w}^2$の値は$\boxed{\text{ヒ}}.\boxed{\text{フヘ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ハ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}$
• $\overline{)\text{1}}$　${\displaystyle \frac{1}{5}}$
• $\overline{)\text{2}}$　${\displaystyle \frac{1}{10}}$
• $\overline{)\text{3}}$　${\displaystyle \frac{1}{20}}$

【６】　自然数$N$を，$0$または$1$または$2$のいずれかの値をとる$a_0\text{，}$$a_1\text{，}\cdots \text{，}$$a_{p-1}$を用いて

$N=a_{p-1}\times 3^{p-1}+a_{p-2}\times 3^{p-2}$$+\cdots +a_2\times 3^2+a_1\times 3+a_0$$\cdots \text{①}$

と表すとき，数字の列$a_{p-1}{a}_{p-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$を$N$の$3$進数表示とよび，$p$をこの$3$進数表示の$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数とよぶ．ただし，$a_{p-1}$は$0$ではないとする．たとえば

$35=1\times 3^3+0\times 3^2+2\times 3+2$

であるから，$35$の進数表示は$1022$であり，その桁数は$4$である．また，自然数$1$から$10$の$3$進数表示は以下のようになる．

　$3$進数表示が$p$桁の自然数$N$は$3^{p-1}\leqq N<3^p$を満たすので，常用対数をとることにより，$p$と$N$の関係式

$p-1\leqq {\displaystyle \frac{{\log }_{10}N}{{\log }_{10}3}}<p$$\cdots \text{②}$

が成り立つことがわかる．

(1)　$3$進数表示が$1212$である自然数は$\boxed{\text{アイ}}$である．

(2)　自然数$N$を与え，その$3$進数表示を求めよう．$\text{①}$の$N$を$3^{p-1}$で割った商が$a_{p-1}$であることに着目して，$N$の$3$進数表示$a_{p-1}{a}_{p-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$を上の位の数から順に出力する〔プログラム１〕を作成した．また，$\text{①}$の$N$を$3$で割った余りが$a_0$であることに着目して，$N$の$3$進数表示$a_{p-1}{a}_{p-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$を下の位の数から順に出力する〔プログラム２〕を作成した．ただし， INT(X) は X を越えない最大の整数を表す関数である．また，LOG10(X) は X の常用対数を表す関数であり，$\text{②}$により，いずれのプログラムにおいても，110 行は入力された自然数 N または M の$3$進数表示の桁数を P に代入している．

• 〔プログラム１〕

  100 INPUT N

  110 LET P=INT(LOG10(N)/LOG10(3))+1

  120 LET X=3^(P-1)

  130 FOR I=1 TO P

  140  PRINT $\boxed{\text{ウ}}$

  150  LET N= $\boxed{\text{エ}}$

  160  LET X= $\boxed{\text{オ}}$

  170 NEXT I

  180 END

• 〔プログラム２〕

  100 INPUT M

  110 LET P=INT(LOG10(M)/LOG10(3))*1

  120 FOR I=1 TO P

  130  PRINT M-INT(M/3)*3

  140  LET M=INT(M/3)

  150 NEXT I

  160 END

　$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　X/3
• $\overline{)\text{1}}$　N/3
• $\overline{)\text{2}}$　X/N
• $\overline{)\text{3}}$　INT(N/3)
• $\overline{)\text{4}}$　N-INT(N/3)
• $\overline{)\text{5}}$　N-INT(N/3)*3
• $\overline{)\text{6}}$　INT(N/X)
• $\overline{)\text{7}}$　N-INT(N/X)
• $\overline{)\text{8}}$　N-INT(N/X)*X

　〔プログラム２〕を実行して変数 M に 77 を入力すると，${\displaystyle \frac{{\log }_{10}77}{{\log }_{10}3}}=3.95\cdots$であることから，110 行では P に 4 が代入される．130 行で出力される値を並べることにより，自然数$77$の$3$進数表示は$\boxed{\text{カキクケ}}$となる．

(3)　与えられた自然数$N$の$3$進数表示$a_{p-1}{a}_{p-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$が，これを逆に並べた数字の列$a_0{a}_1{a}_2\cdots a_{p-2}{a}_{p-1}$と一致するかどうかを調べ，その結果を出力する〔プログラム３〕を作成した．たとえば，〔プログラム３〕を実行して変数 N に 202 を入力すると，$202$は$3$進数表示が$21111$であるから「一致しない」と出力される．また，変数 N に 203 を入力すると，$203$は$3$進数表示が$21112$であるから「一致する」と出力される．

〔プログラム３〕

100 INPUT N

110 LET P=INT(LOG10(N)/LOG10(3))*1

120 LET X=3^(P-1)

130 $\boxed{\text{コ}}$

140 FOR I=1 TO INT(P/2)

150  LET A= $\boxed{\text{ウ}}$

160  LET N= $\boxed{\text{エ}}$

170  LET X= $\boxed{\text{オ}}$

180  LET B=M-INT(M/3)*3

190  LET M=INT(M/3)

200 $\boxed{\text{サ}}$

210 NEXT I

220 PRINT "一致する"

230 GOTO 250

240 PRINT "一致しない"

250 END

　〔プログラム３〕の$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET M=N
• $\overline{)\text{1}}$　LET M=P
• $\overline{)\text{2}}$　LET M=X
• $\overline{)\text{3}}$　LET N=M
• $\overline{)\text{4}}$　LET N=P
• $\overline{)\text{5}}$　LET N=X

　$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　IF A=B THEN GOTO 220
• $\overline{)\text{1}}$　IF A<>B THEN GOTO 220
• $\overline{)\text{2}}$　IF A=B THEN GOTO 240
• $\overline{)\text{3}}$　IF A<>B THEN GOTO 240

　〔プログラム３〕を実行して変数 N に 436 を入力すると，${\displaystyle \frac{{\log }_{10}436}{{\log }_{10}3}}=5.53\cdots$であることから，110 行では P に 6 が代入され，200 行の IF 文の判定は$\boxed{\text{シ}}$回実行される．200 行の IF 文の判定が最後に行なわれたときの X の値は$\boxed{\text{スセ}}$であり，その後，$\boxed{\text{ソ}}\text{．}$$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　220 行が実行され，240 行は実行されない

$\overline{)\text{1}}$　240 行が実行され，220 行は実行されない

$\overline{)\text{2}}$　220 行と 240 行の両方が実行される

$\overline{)\text{3}}$　220 行と 240 行はいずれも実行されない