2013 旭川医科大学 前期

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2013 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  x y z p は自然数で

xy+ yz+ zx= px yz xy z

を満たしている.次の問いに答えよ.

問1  p3 を示せ.

問2  を満たす自然数の組 ( p,x, y,z ) をすべて求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【2】  a を正の実数とする.双曲線 C :x2 -a2 y2 +a2 =0 上の 4 A 1( 0,1) A 2( 0,-1 ) A3 ( a,2 ) A4 ( -2a, -5 ) が与えられている. A1 における C の接線を l1 A3 における C の接線を l 3 とする.次の問いに答えよ.

問1  l1 l 3 の交点 S の座標を求めよ.

問2 直線 A1 A2 と直線 A3 A4 の交点 U の座標,および直線 A1 A4 と直線 A2 A3 の交点 V の座標を求めよ.

問3  3 S U V が同一直線上にあることを示せ.

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易□ 並□ 難□

【3】  a を正の実数とし, f( x)= e-x sin ax とおくとき,次の問いに答えよ.

問1  n を自然数とする.曲線 y =f( x) ( 2( n-1) πa x 2 nπ a ) x 軸で囲まれた部分の面積を A n で表すとき, An a n を用いて表せ.

問2  S= n =1 An a を用いて表せ.

問3  lima S を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 次の問いに答えよ.

問1 関数 y =xlog x-x x>0 の増減を調べ,そのグラフをかけ.

問2  a を正の実数とする.曲線 C: y=log (x+ 1) 上の点 (t ,log( t+1) ) における接線 l t が,曲線 Ca:y =alog x 上の点 ( s,a logs ) における接線にもなっているとき, t s の関係を a を含まない式で表せ.

問3 任意に与えられた t >-1 に対して,直線 l t が曲線 C a の接線にもなっているような a が唯一つ存在すること,および a >1 であることを示せ.

問4 直線 l t が曲線 C a の接線になっているとき,その接点の x 座標を s (t ) とかくことにする. s( t) t の関数とみて増減を調べ,さらに limt (s (t) -t ) を求めよ.

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