2013 滋賀大学 前期

Mathematics

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2013 滋賀大学 前期

経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【1】 円に内接する四角形 ABCD において, AD=2 AB とする.また,対角線 AC BD の交点 E BD 3 :2 に内分するとき,次の問いに答えよ.

(1)  ABC の面積を S1 ACD の面積を S 2 とするとき, S1 :S2 を求めよ.

(2)  BC:CD を求めよ.

(3)  BAD=120 ° AB=2 とするとき,四角形 ABCD の面積を求めよ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【2】  A B 2 人がそれぞれ 9 個のボールを持っていて,次のようなゲームを行う.まずどちらかが硬貨を投げ,表であれば A の勝ち,裏であれば B の勝ちとする.勝者は 0 から 3 までの数が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードから無作為に 1 枚を取り出し,書かれている数だけ敗者からボールを受け取る.ただし,取り出したカードはもとに戻すものとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) このゲームを 2 回続けて行ったとき, 2 人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ.

(2) このゲームを 2 回続けて行ったとき, A B よりも 2 個多くボールを持っている確率を求めよ.

(3) このゲームを 3 回続けて行ったとき, 2 人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x ) f ( x)= 18 01 xf (t )d t+1 を満たす.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  01f (x )d x=0 のとき, f( x) を求めよ.

(2)  01f (x )d x0 であり,方程式 f (x )=0 はただ 1 つの実数解をもつ.このとき, f( x) を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  O 1A 1B 1 において辺 A1 B1 B 1O 1 O1 A1 の中点をそれぞれ O2 A2 B 2 とする.次に, O 2A 2B 2 において辺 A2 B2 B 2O 2 O2 A2 の中点をそれぞれ O3 A 3 B 3 とする.これをくり返して, On An Bn において辺 An Bn B nO n On An の中点をそれぞれ On +1 An +1 Bn +1 とする.ただし, n=1 2 3 である.また, O 1A 1 =a O 1B 1 =b |a | =3 | b | =5 a b= 32 である.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  O1 A1 B1 の重心を G とするとき, | GO1 | | GA1 | | GB1 | の値を求めよ.

(2)  O nA nB n の重心が G であることを,数学的帰納法を用いて証明せよ.

(3)  O nA nB n G を中心とする半径 10 -4 の円の内部に含まれる最小の n の値を求めよ.ただし, log10 2= 0.3010 とする.

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