2013 滋賀大学 後期

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2013 滋賀大学 後期

経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  2 次方程式 x2-a x+b =0 の解を α β とする.実数 a b a 0 b 0 であるとき,次の問いに答えよ.

(1)  | β α+ α β |<2 ならば, α β は実数でないことを示せ.

(2)  α3 +β3 <0 ならば, α β は実数でないことを示せ.

(3)  α4 +β4 a b を用いて表せ.

(4) (3)の答えを, b を定数とする a の関数とみなし,それを f (a ) とする.このとき, f( a) の最小値と最小値を与える a の値を,それぞれ b を用いて表せ.

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経済学部

易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an } C1 1 C1 2 2 C2 2 C1 3 2 C3 2 3 C3 3 と定め,次のような群に分ける.

C1 1 , C1 2 ,2 C2 2 , C1 3 ,2 C2 3 , 3 C3 3 , , C1 m ,2 C2 m , ,m Cm m , 1 2 3 m

このとき,次の問いに答えよ.

(1)  n 以下の自然数 r に対して, r Cr n =n C r-1 n -1 が成り立つことを示せ.

(2) 二項定理を用いて,第 m 群に含まれる数の総和を求めよ.

(3) 第 1 群から第 m 群までに含まれる数の総和を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  0 から n までの数字が 1 つずつ書かれている n +1 個の箱がある.そのなかの 1 つに当たりが入っていて, k という数字が書かれている箱に当たりが入っている確率 p k

pk= { 012 n {( b-a) x+a }d x k=0 2k -12 n 2k+ 12 n {( b-a) x+a )d x k=1 2 n-1 2n -12 n1 { (b- a) x+a} dx k=n

である.ただし, a b は正の定数である.当たりが入っている箱に書かれている数を n で割ったものを X とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  の積分をそれぞれ計算せよ.

(2)  X の期待値を E とする. E a b n を用いて表せ.

(3)  E n に依存しない項を C とする. C= 712 のとき, a b の値を求めよ.

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【4】 実数 a b に対して, f( x)= x3- 3a2 x+2 -b とする.ただし, a0 である.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  f( 1)- f( a) を因数分解せよ.

(2) 区間 0 x1 における関数 f (x ) の増減を調べよ.

(3) 方程式 f (x )=0 0 x1 の範囲に実数解を持つための a b についての条件を求め,その条件を満たす点 ( a,b ) の範囲を a b 平面上に図示せよ.

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