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2013 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1) 整数 x y 25 x-31 y=1 を満たすとき, x-5 31 の倍数であることを示せ.

(2)  1y 100 とする.このとき,不等式

025 x-31 y1

を満たす整数の組 ( x,y ) をすべて求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C【3】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 等式

|x -3| +| y| =2 ( | x+3 |+ |y | )

を満たす x y 平面上の点 ( x,y ) からなる図形を T とする.

(1) 点 ( a,b ) T 上にあれば,点 ( a,-b ) T 上にあることを示せ.

(2)  T で囲まれる領域の面積を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【3】  1 個のさいころを n 回投げ,出た目の最大値を X n とおく.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  Xn k 以下である確率 p k を求めよ.ただし, k=1 2 3 4 5 6 とする.

(2)  Xn k である確率 q k を求めよ.ただし, k=1 2 3 4 5 6 とする.

(3)  Xn の期待値を n =2 の場合に求めよ.

(4)  Xn の期待値が 4.5 以上となる n の範囲を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【4】  C x y 平面上の放物線 y =x2 とする.不等式 y <x2 で表される領域の点 P から C に引いた 2 つの接線に対して,それぞれの接点の x 座標を α β α<β とする.また, 2 つの接線と C で囲まれた部分の面積を S とする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,等式

pq (x- p)2 dx= (q- p)3 3

を用いてもよい.

(1) 点 P の座標 ( a,b ) α β を用いて表せ.

(2)  S= (β -α) 312 を示せ.

(3) 点 P が曲線 y =x3 -1 -1x 1 上を動くとき, (β -α) 2 の値の範囲を調べよ.さらに, S の最大値および最小値を与える点 P の座標を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y =|x -1 x | x>0 と直線 y =2 で囲まれた領域の面積 S を求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A ( a- bb a ) で定まる座標平面上の 1 次変換を f とする.ただし, a b は実数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 原点 O とは異なる点 P ( x,y ) f で移した点を Q とする.このとき,長さの比の値 OQOP P よらないことを示し,その値を a b を用いて表せ.

(2) 正の整数 n に対して, An =( pn qn rn sn ) とするとき,

pn2 +rn 2= (a2 +b2 )n qn2 +sn 2= (a2 +b2 )n

が成り立つことを示せ.

(3)  1092= l2+ m2 を満たす正の整数 l n を一組求めよ.

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数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C

数学I・数学II・数学A・数学B【2】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上の 2 P 1( x1, y1 ) P 2( x2, y2 ) に対して, d( P1 ,P2 )

d( P1 ,P2 )= |x 1-x 2| +| y1- y2 |

で定義する.いま点 A ( 3,0 ) と点 B ( -3,0 ) に対して,

d( Q, A) =2d ( Q, B)

を満たす点 Q からなる図形を T とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 点 ( a,b ) T 上にあれば,点 ( a,-b ) T 上にあることを示せ.

(2)  T で囲まれる領域の面積を求めよ.

(3) 点 C の座標を ( 13,8 ) とする.点 D T 上を動くとき, d( D, C ) の最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面において,点 ( 1,2 ) を通る傾き t の直線を l とする.また, l に垂直で原点を通る直線と l との交点を P とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 点 P の座標を t を用いて表せ.

(2) 点 P の軌跡が 2 次曲線 2 x2 -ay =0 3 点のみを共有するような a の値を求めよ.また,そのとき 3 つの共有点の座標を求めよ.ただし a 0 とする.

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